∴△GAF≌_______．
∴_________=EF，故DE+BF=EF．
A132DEGBFC（第25题）①
12⑵方法迁移：
如图②，将Rt?ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．
ADA13EBCGEC2DFBF（第25题）②
（第25题）②解得图
1?DAB,2⑶问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足?EAF?试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．
ADEBFC（第25题）③
【答案】⑴EAF、△EAF、GF． ⑵DE+BF=EF，理由如下：
假设∠BAD的度数为m，将△ADE绕点A顺时针旋转m?得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：
AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°, ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°， 因此，点G，B，F在同一条直线上． ∵∠EAF=
111m? ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=m??m??m?
2221m?． 2即∠GAF=∠EAF又AG=AE，AF=AF ∴△GAF≌△EAF．∴GF=EF，
又∵GF=BG+BF=DE+BF ∴DE+BF=EF． ⑶当∠B与∠D互补时，可使得DE+BF=EF． 25、（2007南充）如图， 等腰梯形ABCD中，AB＝15，AD＝20，∠C＝30o．点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD（包括端点）上运动．
（1）设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围． （2）当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状．
∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=
B M A N C D
B M A P N C D
………………（1分）
解：（1）过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P． 由已知，AM＝x，AN＝20－x．
∵ 四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D＝∠C＝30o， ∴ ∠PAN＝∠D＝30o．
在Rt△APN中，PN＝ANsin∠PAN＝即点N到AB的距离为
1（20－x）， 2
………………………………（3分）
1（20－x）． 2∵ 点N在AD上，0≤x≤20，点M在AB上，0≤x≤15，
∴ x的取值范围是 0≤x≤15． ………………………………（4分） （2）根据（1），S△AMN＝∵ ?111AM?NP＝x（20－x）＝?x2?5x． 244……（5分）
1＜0，∴ 当x＝10时，S△AMN有最大值． 4…………………………（6分）
又∵ S五边形BCDNM＝S梯形－S△AMN，且S梯形为定值，
∴ 当x＝10时，S五边形BCDNM有最小值． …………………………（7分） 当x＝10时，即ND＝AM＝10，AN＝AD－ND＝10，即AM＝AN． 则当五边形BCDNM面积最小时，△AMN为等腰三角形． …………（8分）
26、（2007福建晋江）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝4，AD＝3，动点M、N分别从D、B同时出发，以1个单位/秒的速度运动，点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连结MP。已知动点运动了x秒。⑴请直接写出PN的长；（用含x的代数式表示）⑵若0秒≤x≤1秒，试求△MPA的面积S与时间x秒的函数关系式，利用函数图象，求S的最大值。⑶若0秒≤x≤3秒，△MPA能否为一个等腰三角形？若能，试求出所有x的对应值；若不能，试说明理由。 D M A
P
B N C
12?4x12?4x；⑵延长NP交AD于点Q，则PQ⊥AD，由⑴得：PN＝， 3312?4x4?x。依题意，可得：AM?3?x 则PQ?QN?PN?4?3311422233S??AM?PQ??(3?x)?x?2x?x2??(x2?3x)??(x?)2?
22333322解：⑴∵0≤x≤1.5
即函数图象在对称轴的左侧，函数值S随着x的增大而增大。 ∴当x?1时，S有最大值 ，S最大值＝⑶△MPA能成为等腰三角形， 共有三种情况，以下分类说明： ①若PM＝PA，
∵PQ⊥MA ∴MQ＝QA＝x
又DM＋MQ＋QA＝AD ∴3x?3，即x?1 ②若MP＝MA，则MQ＝3?2x，PQ＝
1 O 1 2 3 4 x y x=1.5 4。 32 4x，MP＝MA＝3?x 3222在Rt△PMQ中，由勾股定理得：MP?MQ?PQ
54（x?0不合题意，舍去） 43559③若AP＝AM，由题意可得：AP?x，AM＝3?x∴x?3?x，解得：x?
338222∴(3?x)?(3?2x)?(x)，解得：x?43综上所述，当x?1，或x?549，或x?时，△MPA是等腰三角形 438
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