全国百强名校2020届高三下学期”领军考试“数学（理）试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若
??2???
=1???，则??=（ ）
B．l+3i
1
A．3+3i C．3﹣3i D．1﹣3i
2．已知集合??={??|??2＜4}，??={??|(2)??＜2}，则（ ） A．A∩B＝{x|﹣2＜x＜1} C．A∪B＝{x|x＞﹣2}
B．A∩B＝{x|1＜x＜2} D．A∪B＝{x|x＜1}
3．已知角α的终边经过点P（﹣3，1），则cos2α＝（ ） A．5
3
B．?5 3
C．5 4
D．?5
4
4．已知变量x，y的关系可以用模型y＝cekx拟合，设z＝lny，其变换后得到一组数据下： x z
16 50
17 34
18 41
19 31
由上表可得线性回归方程??=?4??+??，则c＝（ ） A．﹣4
??2
??2
B．e4
﹣
C．109 D．e109
1
5．双曲线C：??2???2=1(??＞0，??＞0)的两条渐近线与圆??2+??2?2??+5=0相切，则双曲线C的离心率为（ ） A．2 √5B．√2 C．√5 D．
√17 2
??≥?1
??≥?1
6．已知实数x，y满足约束条件{，则3x﹣y的取值范围是（ ）
???2??+2≥02??????2≤0A．[?，4]
2
27
B．[?，4]
2
5
C．[﹣2，2] D．[﹣2，3]
7．(??2?3)(??+1)5的展开式中的常数项为（ ） A．77
B．37
C．﹣3
D．﹣23
8．已知f（k）＝k+（﹣1）k，执行如图所示的程序框图，若输出k的值为4，则判断框内可填入的条件是（ ）
1
A．s＞3？
B．s＞5？
C．s＞10？
D．s＞15？
9．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，过点A及C1D1中点作与直线BD平行的平面α，则平面α与该正方体ABCD﹣A1B1C1D1各面交线长度之和为（ ） A．5√5 B．2√13+√2
C．2√5+3√2
1
D．5√2
8???1，??≤2
10．已知a＞0且??≠1，??(??)={1，若f（x）有最大值，则a的取值范围是（ ）
2+??????????，??＞2
A．(2，1)
C．(0，)∪(1，+∞)
21
1
B．(0，2]
D．[，1)∪[2，+∞)
21
1
11．蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C：??+2+x2+y2＝4，a＝（ ） A．1
B．2
C．3
D．4
??2
??2??
=1(??＞0)（a＞0）的蒙日圆为
12．关于函数??(??)=|????????|+√3????????有下述四个结论：
①f（x）是周期函数；②f（x）的图象关于直线x＝2kπ（k∈Z）对称， ③f（x）在（﹣π，0）上没有零点；④f（x）的值域为[?√3，2]， 其中正确结论的个数为（ ） A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．??(??)=?????1?2√??的图象在x＝l处的切线方程为 ．
14．如图所示，直角坐标系中网格小正方形的边长为1，若向量??，??，??满足（??+t??）???=0，则t＝ ．
2
→
→
→
→
→
→
15．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＝2ccosB，c＝2，且△ABC面积为1，则sin2B＝ ．
16．已知三棱锥P﹣ABC中PA＝AB＝3，AC＝5，BC＝7，PB＝3√2，PC=√34．则三棱锥P﹣ABC的外接球表面积为 ．
三、解答题：共70分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17?21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17．（12分）已知数列{an}满足a1+a2+…+an＝an+1﹣2． （1）若a1＝2，求数列{an}的通项公式；
（2）若数列1，a2，a4，b1，b2，…bn，…成等差数列，求数列{bn}的前n项和为Sn．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中AD∥BC，DA⊥AB，AD＝2，AB＝BC＝1，CD=√2，点E为PD中点．
（1）求证：CE∥平面PAB； （2）若PA＝2，PD＝2√2，∠PAB=
2??3
，求平面PBD与平面ECD所成锐二面角的余弦值．
19．（12分）已知过点P（4，0）的动直线与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于点A，B，且?????????=0（点O为坐标原点）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）当直线AB变动时，x轴上是否存在点Q使得点P到直线AQ，BQ的距离相等，若存在，求出点Q坐标，若不存在，说明理由．
3
→
→
20．（12分）2019年国庆节假期期间，某商场为掌握假期期间顾客购买商品人次，统计了10月1日7：00﹣23：00这一时间段内顾客购买商品人次，统计发现这一时间段内顾客购买商品共5000人次顾客购买商品时刻的的频率分布直方图如下图所示，其中时间段7：00?11：00，11：00?15：00，15：00～19：00，19：00～23：00，依次记作[7，11），[11，15），[15，19），[19，23]．
（1）求该天顾客购买商品时刻的中位数t与平均值??（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）由频率分布直方图可以近似认为国庆节假期期间该商场顾客购买商品时刻服从正态分布N（μ，δ2），其中μ近似为??，δ＝3.6，估计2019年国庆节假期期间（10月1日﹣10月7日）该商场顾客在12：12﹣19：24之间购买商品的总人次（结果保留整数）；
（3）为活跃节日气氛，该商场根据题中的4个时间段分组，采用分层抽样的方法从这5000个样本中随机抽取10个样本（假设这10个样本为10个不同顾客）作为幸运客户，再从这10个幸运客户中随机抽取4人每人奖励500元购物券，其他幸运客户每人奖励200元购物券，记获得500元购物券的4人中在15：00﹣19：00之间购买商品的人数为X，求X的分布列与数学期望； 参考数据：若T～N（μ，σ2），则①P（μ﹣σ＜T≤μ+σ）＝0.6827； ②P（μ﹣2σ＜T≤μ+2σ）＝0.9545；③P（μ﹣3σ＜T≤μ+3σ）＝0.9973．
21．（12分）已知函数??(??)=??(??????+??)+??????????1． （1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数g（x）＝（fx）﹣lnx有2个不同的极值点x1，x（，求证：??(??1)+??(??2)?2??1??2＞5??????2． 2x1＜x2）（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
??=√3??+22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{1
??=???2??
√3??2，（t
4
1
为参数，a∈R）．在以坐
标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ＝3． （1）若点A（0，4）在直线l上，求直线l的极坐标方程；
（2）已知a＞0，若点P在直线l上，点Q在曲线C上，若|PQ|最小值为2，求a的值．
4
√6
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