定值、范围、最值问题
一、 解题思想方法 1.定值问题：在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效.
2.定点问题：对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决.
3.最值问题：构造。凑目标式，利用不等式；造图形，用几何法；造不等式，用重要不等式。 一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值。
4.取值范围问题：通常从两个途径思考，一是构造函数，用求值域的方法求范围；二是构造不等式，通过解不等式求范围。
二、2013年高考题
全国卷2(20)(本小题满分12分)
x2y2平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：2?2?1(a>b>0)右焦点的直线x+y-错误！未找到引ab用源。=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为(Ι)求M的方程
（Ⅱ）C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值 （关键在于列出目标的函数关系式，注意四边形面积公式）
1 2x2y2山东理（22）椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别是F1,F2,离心率为错误！
ab未找到引用源。，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1,PF2,设∠F1PF2的角平分线 PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点p作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点.
设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2，若k≠0，试证明
11为定值，并求出这个定值。 ?kk1kk2（1.利用角平分线的性质，构造函数关系，利用x0的范围求m的范围；2.利用参数法，用点P的坐标表示其它的量，再进行消参） 安徽理（18）（本小题满分12分）
x2y2?1的焦点在x轴上 设椭圆E:2?2a1?a（Ⅰ）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设F1,F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆E上的第一象限内的点，直线F2P交y 轴与点Q，并且F1P?F1Q，证明：当a变化时，点p在某定直线上。
（本题的突破点在于：1.将几何式转化为代数式，即将垂直关系转化为斜率之间的关系；2.联立方程，解出参数a与点p的横纵坐标之间的关系）
广东理20.(本小题满分14分)
已知抛物线c的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线L:x-y-2=0的距离为错误！未找到引用源。 . 设P为直线L上的点，过点P做抛物线C的两条切线PA，PB,其中A,B为切点。
（1） 求抛物线C的方程；
（2） 当点P（x0，y0）为直线L上的定点时，求直线AB的方程； （3） 当点P在直线L上移动时，求|AF|·|BF|的最小值
（1.建立目标函数式。2.联立方程，利用韦达定理3.配方法得到最小值） 陕西理20. (本小题满分13分)
已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 已知点B(－1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是?PBQ的角平分线, 证明直线l过定点.
（1.联立方程，利用韦达定理。2.利用角平分线的性质得到斜率之间的关系3.由直线的点斜式方程确定过定点） 湖南理21．（本小题满分13分）
过抛物线E:x?2py(p?0)的焦点F作斜率分别为k1,k2的两条不同的直线l1,l2，且
2k1?k2?2，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D。以AB，CD为直径的圆M，圆N
（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为l。
?????????2（I）若k1?0,k2?0，证明；FM?FN?2P；
（II）若点M到直线l的距离的最小值为
75，求抛物线E的方程。 5（第一问求取值范围解题思路：1.联立方程，利用韦达定理，中点公式，将所求的向量积转化为代数式，再利用均值不等式求的范围；第二问实为最值问题，解题思路：利用圆的公共弦的方程，点到直线的距离公式，列出目标函数关系式，最后用配方法得到最小值） 江西文20.（本小题满分13分）
3x2y2椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率e?，a+b=3
2ab（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，A,B,D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m-k为定值。
3cc2a2?b2b23解：（1）因为e=?故2??1?2?
2aaa2a4所以a?2b再由a+b=3得a=2,b=1,
x2?椭圆C的方程为：?y2?1
41（2）因为B（2，0），P不为椭圆顶点，则BP方程为y=k(x-2)(k?0且k??)
2①
x28k2?24k2?y?1，解得P(2,?2) 将①代入44k?14k?11x?1 ② 24k?24k①与②联立解得M(,)
2k?12k?1又直线AD的方程为y?8k2?24k4k?2,?2),N(x,0)三点共线可得N(由D(0,1),P(2,0)
4k?14k?12k?1所以MN的斜率为m=
2k?12k?11，则2m?k??k?（定值） 422（解题思路：参数法：引入参数k，利用三点共线的几何性质转化为代数式，得到斜率与k之间的关系，消参即可）
浙江文22.已知抛物线C的顶点为O（0,0），焦点F（0,1）
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ) 过F作直线交抛物线于A、B两点.若直线OA、OB分别交直线l：y=x-2于M、N
两点， 求|MN|的最小值.
（解题思路：1.参数法：引入参数k；2.联立方程，利用韦达定理，弦长公式列出目标函数式，最后用换元法，配方法得到最值）
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