专题11空间向量与立体几何解答题
考纲解读 1.空间向量及其运算 (1)了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. (2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. (3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 2.空间向量的应用 (1)理解直线的方向向量与平面的法向量. (2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. (3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理). (4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.
1．【2019年天津理科17】如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2．
（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；
（Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；
三年高考分析 空间向量的计算和角度的求解是考查的重点，解题时常用到空间直角坐标系的建立、点和向量坐标的计算与应用，考查学生的数学抽象能力、数学建模能力、数学运算能力、直观想象能力，题型以选择填空题和解答题为主，中等难度. 1、主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断和求解异面直线所成的角，题型主要以选择题和填空题的形式出现，解题要求有较强的空间想象能力和逻辑推理能力. 2、空间向量是高考中的必考内容，涉及用向量法计算空间异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角及空间距离等内容，考查热点是空间角的求解．题型以解答题为主，要求有较强的运算能力，广泛应用函数与方程的思想、转化与化归思想. （Ⅲ）若二面角E﹣BD﹣F的余弦值为，求线段CF的长．
2．【2019年新课标3理科19】图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．
（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； （2）求图2中的二面角B﹣CG﹣A的大小．
3．【2019年全国新课标2理科17】如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE＝A1E，求二面角B﹣EC﹣C1的正弦值．
4．【2019年新课标1理科18】如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A﹣MA1﹣N的正弦值．
5．【2019年北京理科16】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝
AD＝CD＝2，BC＝3．E为PD的中点，点F在PC上，且（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD； （Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣P的余弦值；
．
（Ⅲ）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
6．【2019年江苏16】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC． 求证：（1）A1B1∥平面DEC1； （2）BE⊥C1E．
7．【2019年浙江19】如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点． （Ⅰ）证明：EF⊥BC；
（Ⅱ）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．
8．【2018年江苏15】在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1． 求证：（1）AB∥平面A1B1C； （2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．
9．【2018年江苏25】如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．
（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值； （2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．
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