现代控制理论系统解耦问题

5.4系统解耦问题

2. 特征量的性质

(1). 与传递函数矩阵??(??)相对应的状态空间表达式为{??,??,??}，且????为??的第??个行向量，

则有??(??)=??(???????)?????的特征量为：

??????,????为满足????????????=???≠0的最小值

???1，当??????????=0,??=0,1,?,???1<1>

????=????

????????

<2>

证明：由??(??)=??(???????)?????可得????(??)=????(???????)?????而(?????

??)???=

??

????

(???????

??

?????+?+??????+????)

其中：????=?????????????=????+?????1?????1+?+??1??+??0

???????=??,???????=??+?????1??,?,

????=?????1+?????1?????2+?+??1??

5.4系统解耦问题

则：????(??)=

??(????????????????????+?+????????????????????????+??????????????1??????????????+?+????????????+??????????)

????由????定义可知，????(??)中各元素分母和分子多项式的阶数之差的最小值为????+1，这表明与

???????,???????,?,?????????相关的系数矩阵为零，而????????????的系数矩阵不为零，即：?????????????=??，?????????????=??,?,???????????????=??,??????????????1??≠??

将???????,???????,?,?????????,????????????代入可得：

??????=??，????????=??,?,???????????1??=??,????????????≠??

即????是使????

??????

≠0成立的最小正整数。

而当????(??)=0，即??????????=0,(??=0,1,?,???1)，则规定????=???1故<1>式得证。

5.4系统解耦问题

由????的定义可得: ????=lim??????+1????????→∞

??????+1

=lim(????????????????????+?+????????????????????????+??????????????1??????????????+?+??????????)??→∞????=??????????????1??

=????(??????+?????1?????????+?+???????????)??

=????????????+?????1???????????????+?+???????????????=????????????

故特征量的性质(1)得证。

5.4系统解耦问题

(2). 对于任意的非奇异矩阵对{??，??}，状态反馈闭环系统的传递函数矩阵

??????(??)=??(???????+

??????则可表示为：????)????的两个特征量????和??

???????,??为满足??(???????)????≠0的最小值??????

????=???

???1，当????(???????)????=0,??=0,1,?,???1???????=????(???????)??????

根据性质( 1) 相同的方法可证。

(3) 对于任意的非奇异矩阵对{??，??}，开环系统和闭环系统的传递函数矩阵的特征量之间存在如下关系式：

????=????,

???=????????

??=1,2,?.??

5.4

四. 系统可解耦的条件

系统解耦问题

定理：给定??个输入??个输出的线性定常系统??=????+????

??=????

可采用输入变换和状态反馈矩阵??=?????+????进行解耦控制的充要条件，由系统传递函数矩阵每一行结构特性向量????组成的矩阵非奇异。

????????

??=?

????

证明：必要性：

已知存在控制??=?????+????，可使系统实现解耦，即闭环系统的传递函数矩阵为??????=????????[??11??,??22??,?,????????]，则E非奇异。

??∈????×??