[答案] y=x+1
[解析] 对y=x+求导得y'=2x-,当x=1时,y'=2×1-1=1,所以曲线y=x+在点(1,2)处的切线方程为y-2=x-1,即y=x+1.
3.[2016·全国卷Ⅱ] 若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln (x+1)的切线,则b= . [答案] 1-ln 2
22
[解析] 曲线y=ln x+2的切线为y=·x+ln x1+1(其中x1为切点横坐标),曲线y=ln (x+1)
的切线为y=·x+ln (x2+1)-(其中x2为切点横坐标).
由题可知
解得∴b=ln x1+1=1-ln 2.
4.[2016·全国卷Ⅲ] 已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x) =ln (-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是 . [答案] y=-2x-1
[解析] 设x>0,则-x<0.∵x<0时,f(x)=ln (-x)+3x,∴f(-x)=ln x-3x,又∵f(-x)=f(x),∴当
x>0时,f(x)=ln x-3x,∴f'(x)=-3,即f'(1)=-2,∴曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1),整理得y=-2x-1.
5.[2015·全国卷Ⅰ改编] 已知函数f(x)=x+ax+,当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线.
3
解:设曲线y=f(x)与x轴相切于点(x0,0),则f(x0)=0,f'(x0)=0,即解得
x0=,a=-.
因此,当a=-时,x轴为曲线y=f(x)的切线.
6.[2015·全国卷Ⅰ改编] 在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程.
解:由题设可得M(2,a),N(-2,a)或M(-2,a),N(2,a).又y'=,故y=在x=2处的
导数值为在x=-2即
,所以曲线C在点(2处的导数值为-,a)处的切线方程为y-a=(x-2),即x-y-a=0.y=(x+2
),
,所以曲线C在点(-2,a)处的切线方程为y-a=-x+y+a=0.
故所求切线方程为x-y-a=0和x+y+a=0.
7.[2014·全国卷Ⅰ改编] 设函数f(x)=aeln x+程为y=e(x-1)+2,求a,b. 解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),
x,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方
f'(x)=aexln x+ex-ex-1+ex-1.
由题意可得f(1)=2,f'(1)=e,故a=1,b=2.
8.[2013·全国卷Ⅰ改编] 设函数f(x)=x+ax+b,g(x)=e(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2,求a,b,c,d的值.
2
x
解:由已知得f(0)=2,g(0)=2,f'(0)=4,g'(0)=4.而f'(x)=2x+a,g'(x)=e(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4.从而a=4,b=2,c=2,d=2. ■ [2017-2016]其他省份类似高考真题
1.[2016·山东卷] 若函数y=f(x)的图像上存在两点,使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是 ( ) A.y=sin x B.y=ln x C.y=e D.y=x
[解析] A 由函数图像上两点处的切线互相垂直,可知函数在这两点处的导数之积为-1,经检验,选项A符合题意.
x3
x2.[2016·四川卷] 设直线l1,l2分别是函数f(x)=图像上点P1,P2处的切线,l1
与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞)
[解析] A 不妨设P1(x1,y1),P2(x2,y2),其中0 f'(x)=得l1的斜率k1=-,l2的斜率k2=.又l1与l2垂直,且0 k1·k2=-·=-1?x1·x2=1, l1:y=-(x-x1)-ln x1①, l2:y=(x-x2)+ln x2②, 则点A的坐标为(0,1-ln x1),点B的坐标为(0,-1+ln x2),由此可得|AB|=2-ln x1-ln x2=2-ln (x1·x2)=2.联立①②两式可解得交点P的横坐标xP==, 所以S△PAB=|AB|·|xP|=×2× =≤1,当且仅当x1=,即x1=1时,等号成立.
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