武汉中学2020年高三第二次教学质量检测
数学（理科）
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项
1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位.
2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草纸上答题无效.
第Ⅰ卷（满分60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的.
1.已知集合A?{x|x?1}，B?x|3x?1，则（ ） A．A??{x|x?0} B．A?B?R C．A?B?{x|x?1}
x??D．A???
?1?2.已知函数f(x)?3x???，则f(x)（ ）
?3?A．是奇函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数
B．是偶函数，且在R上是增函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
3.z是z的共轭复数，若z?z?2，(z?z)i?2（i为虚数单位），则z等于（ ） A．1?i
B．?1?i
2C．?1?i D．1?i
4.已知当x?[0,1]时，函数y?(mx?1)的图象与y?值范围是（ ）
A．(0,1]?[23,??)B．(0,1]?[3,??) C．(0,2]?[23,??)
x?m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取
D．(0,2]?[3,??)
5.若函数y?f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y?f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是（ ） A．y?sinx 6.若cos?B．y?lnx
C．y?e
xD．y?x
3???3????，则sin2??（ ） ?4?5B．
A．
7 251 5??C．?
15D．?7 257.已知曲线C1:y?cosx，C2:y?sin?2x?2?3??，则下面结论正确的是（ ） ?A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的曲线C2
?个单位长度，得到6?个单位长度，得到121?倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到261?倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到212?2x?3y?3?0?8.设x,y满足约束条件?2x?3y?3?0，则z?2x?y的最小值是（ ）
?y?3?0?A．?15
B．?9
2C．1 D．9
9.已知F为抛物线C:y?4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1,l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则||AB|?|DE|的最小值为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
10.若x??2是函数f(x)?x2?ax?1ex?1的极值点，则f(x)的极小值为（ ） A．?1
B．?2e?3
C．5e?3
D．1
??11.已知函数f(x)?x2?2x?aex?1?e?x?1有唯一零点，则a?（ ）
??A．?1 2B．
1 3C．
1 2D．1
12.在矩形ABCD中，AB?1，AD?2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若
uuuruuuruuurAP??AB??AD，则???的最大值为（ ）
A．3
B．22 C．5 D．2
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）题、第（23）题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.第16题第一空2分，第二空3分.把答案填在答题卡上的相应位置.
13.在平面直角坐标系xOy中，角?与角?均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称. 若sin??1，cos(???)?______. 3?x2?x?3,x?1,x?xf(x)??a在R上恒成立，则a的14.已知函数f(x)??设，若关于的不等式a?R22x?,x?1.?x?取值范围是________.
?x?2pt215.设抛物线?，（t为参数，p?0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足
?y?2pt为B.设C?_____.
16.如图，在圆柱O1,O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下面及母线均相切记圆柱O1,O2的体积为V1，球
?7?p,0?，AF与BC相交于点E.若|CF|?2|AF|，且△ACE的面积为32，则p的值为?2?
O的体积为V2，则
V1的值是_____. V2
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知函数f(x)?sinx?cosx?23sinxcosx?x?R?.
22（Ⅰ）求f??2??3??的值. ?（Ⅱ）求f(x)的最小正周期及单调递增区间.
18.一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球.从中随机取出1球，求： （1）取出1球是红球或黑球的概率； （2）取出1球是红球或黑球或白球的概率.
19.如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，?ABD??CBD，AB?BD.
（1）证明：平面ACD?平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角
D?AE?C的余弦值.
20.如图，已知抛物线x?y，点A??直线AP的垂线，垂足为Q.
23??11??39??1,?，B?,?，抛物线上的点P(x,y)???x??.过点B作
2??24??2?24?
（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围； （Ⅱ）求|PA|?|PQ|的最大值.
21.已知函数f(x)?nx?x,x?R，其中n?N*，n?2. （Ⅰ）讨论f(x)的单调性；
（Ⅱ）设曲线y?f(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y?g(x)，求证：对于任意的正实数x，都有f(x)?g(x)；
n（Ⅲ）若关于x方程f(x)?a（a为实数）有两个正实根x1,x2，求证：x2?x1?a?2 1?n请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
1?x?1?t,??2?x?cos?,?求直线?（t为参数）被曲线?（?为参数）所截得的弦长.
y?3sin????y?3t??223.选修4-5：不等式选讲
已知x?y?1，求2x?3y的最小值.
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