专题4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，
sin x
＝tan x． cos x
π
2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．
2
知识点一 同角三角函数的基本关系 1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)． πsin α?
α≠kπ＋，k∈Z?. (2)商数关系：tan α＝2?cos α?2．同角三角函数基本关系式的应用技巧
技巧 解读 sin θ主要利用公式tan θ＝化成正弦、cos θ余弦，或者利用公式适合题型 表达式中含有sin θ，cos θ与切弦互化 sin θ＝tan θ化成正切 tan θ cos θ1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝ “1”的变换 (sin θ±cos θ)2?2sin θcos θ＝tanπ 4表达式中需要利用“1”转化 利用关系式(sin θ±cos θ)2＝1±2sin 和积转换 θcos θ进行变形、转化 知识点二 三角函数的诱导公式 组数 角 正弦 余弦 正切
一 2kπ＋α(k∈Z) sin α cos α tan α 二 π＋α －sin_α －cos_α tan_α －α －sin_α cos_α －tan_α 三 四 π－α sin_α －cos_α －tan_α 表达式中含有sin θ±cos θ或 sin θcos θ 五 π－α 2cos_α sin_α 六 π＋α 2cos_α －sin_α 考点一 三角函数的诱导公式
【典例1】（广东省实验中学2018-2019学年高一下学期期末）角?的终边在直线y?2x上，则
sin??????cos??????（ ）
sin??????cos?????A．
1 3B．1 C．3 D．?1
【答案】C
【解析】因为角?的终边在直线y?2x上，?tan??2，
sin??????cos??????sin??cso?sin??cos?tan??1????3，故选C。 则
sin??????cos??????sin??cos?sin??cos?tan??1【方法技巧】 1.诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了． 2．含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.
3．三角形中的三角函数关系式 sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC； cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC； tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC； AB?πCC＋＝sin?－?＝cos； sin??22??22?2AB?πCC＋＝cos?－?＝sin. cos??22??22?2
【变式1】（甘肃省武威第一中学2018-2019学年质量检测）已知
sin?????2sin??3cos????D．
?2 ，则tan?（ ）
5A．?6 【答案】B 【解析】化简
B．6
C．?2 32 3sin?????2sin??3cos?????sin?tan?2??
2sin??3cos?2tan??35所以tan??6，故选B。
考点二 同角三角函数的基本关系及应用
π
0，?，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( ) 【典例2】(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈??2?15325A. B. C. D. 5535【答案】B
π
0，?，【解析】由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2 sin2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin2α.因为α∈??2?所以cos α＝1－sin2 α，所以2sin α1－sin2 α＝1－sin2 α，解得sin α＝
【方法技巧】同角三角函数关系式的应用方法
sinα
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化．
cosα(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．
(3)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2
＝1±2sinαcosα，可以知一求二．
(4)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
【变式2】（广东省深圳市高级中学2018-2019学年高一下学期期中）?是第三象限角，且sin??-则tan??（ ）
A．-3 【答案】B
【解析】因为?是第三象限角，且sin??-B．3 C．-5
，故选B。 5
3 ，23 3D．3 33， 21， 2sin??3，故选B。 所以tan??cos?所以cos???考点三 同角三角函数的基本式和诱导公式的综合应用
【典例3】（广东省海珠区2018-2019学年期末）已知sinx?cosx????32，则cos?2x??=（ ）
2??5A．
7 25B．?7 25C．
4 5D．?4 52【答案】B
?32?1832?【解析】对等式sinx?cosx?两边平方，得1?2sinxcosx??， ???255?5?即1?sin2x???7187?，?sin2x??，因此，cos?2x???sin2x??，故选B。
2252525??【方法技巧】同角三角函数基本关系在求值与化简时，常用方法有
asinx＋bcosxsinx
(1)弦切互化法：主要利用公式tanx＝进行切化弦或弦化切，如，asin2x＋bsinxcosx＋
cosxcsinx＋dcosxccos2x等类型可进行弦化切．
(2)和积转换法：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα可以知一求二．
?1＋12?＝tanπ＝…. (3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ·?tanθ?4
【变式3】（江西省吉安市2019届高三教学质量检测）已知
tan??2019π?θ???2，则
π??π??22sin?θ??sin?θ???6??4?（ ） ?A．?2 【答案】B
【解析】∵tan??2019π?θ???2，?tanθ??2，
B．
23?1 5C．
23?3 5D．
3 5π??π???22sin?θ??sin?θ???6??4???3sinθ?cosθ?sinθ?cosθ??3sin2θ?cos2θ???3?1sinθcosθ
??
3sin2θ?cos2θ??3?1sinθcosθ?sin2θ?cos2θ?3tan2θ?1??3?1tanθ?tan2θ?1?43?1?2?3?14?1??23?1．故选B。
5
相关推荐：
loading