2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(天津卷,含解析)

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（天津卷，含解析）

第I卷

注意事项：

1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

2、本卷共8小题，每小题5分，共40分.

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知全集U??1,2,3,4,5,6,7,8? ，集合A??2,3,5,6? ，集合B??1,3,4,6,7? ，则集合AIeUB? （A）?2,5? （B）?3,6? （C）?2,5,6? （D）?2,3,5,6,8? 【答案】A 【解析】

试题分析：eUB?{2,5,8},所以AIeUB?{2,5}，故选A. 考点：集合运算.

?x?2?0?（2）设变量x,y 满足约束条件?x?y?3?0 ，则目标函数z?x?6y的最大值为

?2x?y?3?0?（A）3 （B）4 （C）18 （D）40 【答案】C

8642BA15105246851015 考点：线性规划.

（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为 （A）?10 （B）6（C）14（D）18

【答案】B 【解析】

试题分析：模拟法：输入S?20,i?1；

i?2?1,S?20?2?18,2?5不成立； i?2?2?4,S?18?4?14,4?5不成立 i?2?4?8,S?14?8?6,8?5成立 输出6,故选B. 考点：程序框图.

（4）设x?R ，则“x?2?1 ”是“x?x?2?0 ”的 （A）充分而不必要条件

2（B）必要而不充分条件 （C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件 【答案】A

考点：充分条件与必要条件.

（5）如图，在圆O 中，M,N 是弦AB 的三等分点，弦CD,CE 分别经过点M,N .若

CM?2,MD?4,CN?3 ，则线段NE 的长为

（A）

8105 （B）3 （C） （D） 332DEOAMC【答案】A 【解析】

试题分析：由相交弦定理可知，AM?MB?CM?MD,CN?NE?AN?NB，又因为M,N是弦AB的三等分点，所以AM?MB?AN?NB?CN?NE?CM?MD，所以NE?考点：相交弦定理.

NB

CM?MD2?48??，故选A.

CN33x2y2（6）已知双曲线2?2?1?a?0,b?0? 的一条渐近线过点2,3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线

ab??y2?47x 的准线上，则双曲线的方程为

x2y2x2y2x2y2x2y2??1 （B）??1（C）??1（D）??1 （A）

282121283443【答案】D

考点：1.双曲线的标准方程及几何性质；2.抛物线的标准方程及几何性质. （7）已知定义在R 上的函数f?x??2x?m?1 （m 为实数）为偶函数，记

a?f(log0.53),b?f?log25?,c?f?2m? ，则a,b,c 的大小关系为

（A）a?b?c （B）a?c?b （C）c?a?b （D）c?b?a 【答案】C 【解析】

试题分析：因为函数f?x??2x?m?1为偶函数，所以m?0，即f?x??2?1，所以

x1log21??a?f(log0.53)?f?log2??23?1?2log23?1?3?1?2,

3??b?f?log25??2log25?1?4,c?f?2m??f(0)?20?1?0

所以c?a?b，故选C.

考点：1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算.

??2?x,x?2,（8）已知函数f?x??? 函数g?x??b?f?2?x? ，其中b?R，若函数2???x?2?,x?2,y?f?x??g?x? 恰有4个零点，则b的取值范围是

（A）?7??7???7??7?,??? （B）???,? （C）?0,?（D）?,2?

4??4???4??4?【答案】D 【解析】

???2?2?x,x?0?2?x,x?2,试题分析：由f?x???得f(2?x)??， 22x?0??x,???x?2?,x?2,?2?x?x2,x?0?0?x?2， 所以y?f(x)?f(2?x)??4?x?2?x,?2?2?2?x?(x?2),x?2?x2?x?2,x?0?0?x?2 即y?f(x)?f(2?x)??2,?x2?5x?8,x?2?y?f(x)?g(x)?f(x)?f(2?x)?b,所以y?f?x??g?x?恰有4个零点等价于方程

f(x)?f(2?x)?b?0有4个不同的解，即函数y?b与函数y?f(x)?f(2?x)的图象的4个公共点，

由图象可知

7?b?2. 4864215105246851015 考点：1.求函数解析式；2.函数与方程；3.数形结合.

第II卷 注意事项：

1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2、本卷共12小题，共计110分.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

（9）i 是虚数单位，若复数?1?2i??a?i? 是纯虚数，则实数a的值为 . 【答案】?2 【解析】

试题分析：?1?2i??a?i??a?2??1?2a?i是纯度数，所以a?2?0，即a??2. 考点：1.复数相关定义；2.复数运算.

3

（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 m .

【答案】? 【解析】

试题分析：由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为1，高为2的圆柱，两端是底面半径为1，高为1的圆锥，所以该几何体的体积V?1???2?2??1???1??. 考点：1.三视图；2.旋转体体积.

（11）曲线y?x 与直线y?x 所围成的封闭图形的面积为 . 【答案】

2832132831 6【解析】

试题分析：两曲线的交点坐标为(0,0),(1,1)，所以它们所围成的封闭图形的面积

1?1?1S???x?x?dx??x2?x3??.

03?06?2121考点：定积分几何意义.

1??2（12）在?x?? 的展开式中，x的系数为 .

4x??【答案】

615 16考点：二项式定理及二项展开式的通项.

（13）在?ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，已知?ABC的面积为315 ，

1b?c?2,cosA??, 则a的值为 .

4【答案】8 【解析】

试题分析：因为0?A??，所以sinA?1?cosA?215， 4又S?ABC??b?c?2115bcsinA?bc?315,?bc?24，解方程组?得b?6,c?4，由余弦定理得 28?bc?24?1?a2?b2?c2?2bccosA?62?42?2?6?4?????64，所以a?8.

?4?考点：1.同角三角函数关系；2.三角形面积公式；3.余弦定理.

（14）在等腰梯形ABCD 中,已知AB//DC,AB?2,BC?1,?ABC?60 ,动点E 和F 分别在线段

ouuuruuuruuur1uuuruuuruuurDC, 则AE?AF的最小值为 . BC 和DC 上,且,BE??BC,DF?9?29【答案】

18【解析】

uuurruuur1uuuruuuruuuruuurruuur1?9?uuur1?9?uuur1uuu1uuu试题分析：因为DF? DC,DC?AB，CF?DF?DC?DC?DC?DC?AB，

9?29?9?18?uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur1?9?uuur1?9?uuuruuurAE?AB?BE?AB??BC，AF?AB?BC?CF?AB?BC?AB?AB?BC，

18?18?uuuruuuruuuruuur?1?9?uuuruuur?1?9?uuur2uuur2?ruuur1?9??uuuAE?AF?AB??BC??AB?BC??AB??BC??1???AB?BC

18???18??18???? ?21172117291?9?19?9?????2???? ?4????2?1?cos120??9?2189?2181818?18?ruuur212uuu29当且仅当??即??时AE?AF的最小值为.

9?2318DFCEAB

考点：1.向量的几何运算；2.向量的数量积；3.基本不等式.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分13分）已知函数f?x??sinx?sin?x?22?????，x?R 6?(I)求f(x)最小正周期； (II)求f(x)在区间[-pp,]上的最大值和最小值. 3431,f(x)min??. 42【答案】(I)?; (II) f(x)max?考点：1.两角和与差的正余弦公式；2.二倍角的正余弦公式；3.三角函数的图象与性质.

16. （本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有

来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.

(I)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；

(II)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望. 【答案】(I)

6; 35(II) 随机变量X的分布列为

X 1 2 3 4 P E?X??5 23311 147714【解析】

试题分析：(I)由古典概型计算公式直接计算即可； (II)先写出随机变量X的所有可能值，求出其相应的概率，即可求概率分布列及期望. 试题解析：(I)由已知，有

P(A)?C22C222C3?3C36C4?35 8所以事件A发生的概率为

635. (II)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4

k4P?X?k??CC?k53C4(k?1,2,3,4) 8所以随机变量X的分布列为

X 1 2 3 4 P 13314 7 7 114 所以随机变量X的数学期望E?X??1?1331514?2?7?3?7?4?14?2

考点：1.古典概型；2.互斥事件；3.离散型随机变量的分布列与数学期望. 17. （本小题满分

13

分）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A?底面ABCD,AB?AC,AB=1,

AC=AA1=2,AD=CD=5,且点M和N分别为B1C和D1D的中点.

(I)求证：MNP平面ABCD； (II)求二面角D1-AC-B1的正弦值；

(III)设E为棱A11B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为

3，求线段A1E的长 侧棱

【答案】(I)见解析； (II) 【解析】

试题分析：以A为原点建立空间直角坐标系(I)求出直线MN的方向向量与平面ABCD的法向量，两个向量的乘积等于0即可；(II)求出两个平面的法向量，可计算两个平面所成二面角的余弦值的大小，再求正弦

310； (III) 7?2. 10uuuruuuurAE值即可；(III) 设A1E??A1B1，代入线面角公式计算可解出?的值，即可求出1的长.

试题解析：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,?2,0)，

A1(0,0,2),B1(0,1,2),C1(2,0,2),D1(1,?2,2)，又因为M,N分别为B1C和D1D的中点，得

?1?M?1,,1?,N(1,?2,1). ?2?

uuuur?r5?(I)证明：依题意，可得n?(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量，MN??0,?,0?，

2??uuuurr由此可得，MN?n?0，又因为直线MN?平面ABCD，所以MN//平面ABCD

uuuuruuurur(II)AD1?(1,?2,2),AC?(2,0,0)，设n1?(x,y,z)为平面ACD1的法向量，则

uruuuurur??x?2y?2z?0?n1?AD1?0，即?，不妨设z?1，可得n1?(0,1,1)， r?uruuu?2x?0??n1?AC?0uuruuuruuruuur??n2?AB1?0设n2?(x,y,z)为平面ACB1的一个法向量，则?u，又AB1?(0,1,2)，得 uruuur??n2?AC?0uur?y?2z?0，不妨设z?1，可得n2?(0,?2,1) ?2x?0?uruururuururuur310n1?n210ruur??因此有cosn1,n2?u，于是sinn1,n2?，

1010n1?n2所以二面角D1?AC?B1的正弦值为310. 10uuurruuuruuuur(III)依题意，可设A其中??[0,1]，则E(0,?,2)，从而NE?(?1,??2,1)，又n?(0,0,1)1E??A1B1，

为平面ABCD的一个法向量，由已知得

uuurruuurrNE?n11cosNE,n?uuu?，整理得?2?4??3?0， rr?NE?n(?1)2?(??2)2?123又因为??[0,1]，解得??7?2，

所以线段A1E的长为7?2.

考点：1.直线和平面平行和垂直的判定与性质；2.二面角、直线与平面所成的角；3.空间向量的应用.

*18. （本小题满分13分）已知数列{an}满足an?2?qan(q为实数，且q?1)，n?N,a1?1,a2?2，且

a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.

(I)求q的值和{an}的通项公式； (II)设bn?log2a2n｛bn｝,n?N*，求数列的前n项和.

a2n?1?1?n2n?2?2,n为奇数,【答案】(I) an??n; (II) Sn?4?n?1.

2?22,n为偶数.?【解析】

试题分析：(I)由a3+a4-a2+a3=a4+a5-a3+a4得a4?a2?a5?a3 先求出q，分n为奇数与偶数讨论即可；(II)求出数列?bn?的通项公式，用错位相减法求和即可.

试题解析：(I) 由已知，有a3+a4-a2+a3=a4+a5-a3+a4，即a4?a2?a5?a3， 所以a2(q?1)?a3(q?1)，又因为q?1，故a3?a2?2，由a3?a1q，得q?2， 当n?2k?1(n?N*)时，an?a2k?1?2kk?1n2()(()()())()(n?12)()?2，

当n?2k(n?N*)时，an?a2k?2?2，

?1?n2?2,n为奇数,所以{an}的通项公式为an??n

?22,n为偶数.?

考点：1.等差中项定义；2.等比数列及前n项和公式.3.错位相减法.

3x2y219. （本小题满分14分）已知椭圆2+2=1(a>b>0)的左焦点为F（-c,0）,离心率为，点M在椭

3ab43b4圆上且位于第一象限，直线FM被圆x+y=截得的线段的长为c，|FM|=.

3422(I)求直线FM的斜率； (II)求椭圆的方程；

(III)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于2，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围.

?3x2y223??223???1 ；(III) ???,?【答案】(I) ； (II) ,?U??.

3323??33??【解析】

试题分析：(I) 由椭圆知识先求出a,b,c的关系，设直线直线FM的方程为y?k(x?c)，求出圆心到直

x2y2线的距离，由勾股定理可求斜率k的值； (II)由(I)设椭圆方程为2?2?1，直线与椭圆方程联立，

3c2c求出点M的坐标，由FM?43可求出c，从而可求椭圆方程.(III)设出直线FP：y?t(x?1)，与椭36?2x2圆方程联立，求得t??2，求出x的范围，即可求直线OP的斜率的取值范围. 23(x?1)c212222222试题解析：(I) 由已知有2?，又由a?b?c，可得a?3c，b?2c，

a3设直线FM的斜率为k(k?0)，则直线FM的方程为y?k(x?c)，由已知有

?kc??c??b?3k???，解得. ?2?????322?k?1?????x2y2(II)由(I)得椭圆方程为2?2?1，直线FM的方程为y?k(x?c)，两个方程联立，消去y，整理得

3c2c222?23?53x2?2cx?5c2?0，解得x??c或x?c，因为点M在第一象限，可得M的坐标为?c,c?，由

3?3??23?x2y2432??1 ，解得c?1，所以椭圆方程为FM?(c?c)??c?0??3233??y(III)设点P的坐标为(x,y)，直线FP的斜率为t，得t?，即y?t(x?1)(x??1),与椭圆方程联

x?12?y?t(x?1)26?2x?2222立?x，消去y，整理得2x?3t(x?1)?6，又由已知，得t??2，解得 y223(x?1)??1?2?33??x??1或?1?x?0， 2设直线OP的斜率为m，得m?①当x???y222，即y?mx(x?0)，与椭圆方程联立，整理可得m?2?. xx3?223?22?，得m?,?? x233??3?3?,?1?时，有y?t(x?1)?0，因此m?0，于是m??2?②当x???1,0?时，有y?t(x?1)?0，因此m?0，于是m???2223??，得m???,??? x233???23??223?综上，直线OP的斜率的取值范围是???,?,?U??

333????考点：1.椭圆的标准方程和几何性质；2.直线和圆的位置关系；3.一元二次不等式. 20. （本小题满分14分）已知函数f(x)?nx?x,x?R，其中n?N,n?2. (I)讨论f(x)的单调性；

(II)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证：对于任意的正实数x，都有f(x)?g(x)；

(III)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实根x1，x2，求证： |x2-x1|

试题解析：(I)由f(x)?nx?x，可得，其中n?N*且n?2， 下面分两种情况讨论： （1）当n为奇数时：

n令f?(x)?0，解得x?1或x??1，

当x变化时，f?(x),f(x)的变化情况如下表：

x (??,?1) (?1,1) (1,??) f?(x) f(x) ? ] ? ? ] Z 所以，f(x)在(??,?1)，(1,??)上单调递减，在(?1,1)内单调递增. (2)当n为偶数时，

当f?(x)?0，即x?1时，函数f(x)单调递增； 当f?(x)?0，即x?1时，函数f(x)单调递减.

所以，f(x)在(??,?1)上单调递增，f(x)在(1,??)上单调递减. (II)证明：设点P的坐标为(x0,0)，则x0?n1n?12，f?(x0)?n?n，曲线y?f(x)在点P处的切线方程

为y?f?(x0)?x?x0?，即g(x)?f?(x0)?x?x0?，令F(x)?f(x)?g(x)，即

F(x)?f(x)?f?(x0)?x?x0?，则F?(x)?f?(x)?f?(x0)

由于f?(x)??nxn?1?n在?0,???上单调递减，故F?(x)在?0,???上单调递减，又因为F?(x0)?0，所以

F?(x0)?0，当x?(0,x0)时，F?(x0)?0，当x?(x0,??)时，所以F(x)在(0,x0)内单调递增，在(x0,??)内单调递减，所以对任意的正实数x都有F(x)?F(x0)?0，即对任意的正实数x，都有f(x)?g(x). (III)证明：不妨设x1?x2，由(II)知g(x)?n?n2???x?x?，设方程g(x)?a的根为x?，可得

02x2??a?x0.，当n?2时，g(x)在???,???上单调递减，又由(II)知g(x2)?f(x2)?a?g(x2?),可2n?n得x2?x2?.

类似的，设曲线y?f(x)在原点处的切线方程为y?h(x)，可得h(x)?nx，当x?(0,??)，

f(x)?h(x)??xn?0，即对任意x?(0,??)，f(x)?h(x).

设方程h(x)?a的根为x1?，可得x1??a，因为h(x)?nx在???,???上单调递增，且n

考点：1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式.