2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(天津卷,含解析)

?2?x?x2,x?0?0?x?2， 所以y?f(x)?f(2?x)??4?x?2?x,?2?2?2?x?(x?2),x?2?x2?x?2,x?0?0?x?2 即y?f(x)?f(2?x)??2,?x2?5x?8,x?2?y?f(x)?g(x)?f(x)?f(2?x)?b,所以y?f?x??g?x?恰有4个零点等价于方程

f(x)?f(2?x)?b?0有4个不同的解，即函数y?b与函数y?f(x)?f(2?x)的图象的4个公共点，

由图象可知

7?b?2. 4864215105246851015 考点：1.求函数解析式；2.函数与方程；3.数形结合.

第II卷 注意事项：

1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2、本卷共12小题，共计110分.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

（9）i 是虚数单位，若复数?1?2i??a?i? 是纯虚数，则实数a的值为 . 【答案】?2 【解析】

试题分析：?1?2i??a?i??a?2??1?2a?i是纯度数，所以a?2?0，即a??2. 考点：1.复数相关定义；2.复数运算.

3

（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 m .

【答案】? 【解析】

试题分析：由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为1，高为2的圆柱，两端是底面半径为1，高为1的圆锥，所以该几何体的体积V?1???2?2??1???1??. 考点：1.三视图；2.旋转体体积.

（11）曲线y?x 与直线y?x 所围成的封闭图形的面积为 . 【答案】

2832132831 6【解析】

试题分析：两曲线的交点坐标为(0,0),(1,1)，所以它们所围成的封闭图形的面积

1?1?1S???x?x?dx??x2?x3??.

03?06?2121考点：定积分几何意义.

1??2（12）在?x?? 的展开式中，x的系数为 .

4x??【答案】

615 16考点：二项式定理及二项展开式的通项.

（13）在?ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，已知?ABC的面积为315 ，

1b?c?2,cosA??, 则a的值为 .

4【答案】8 【解析】

试题分析：因为0?A??，所以sinA?1?cosA?215， 4又S?ABC??b?c?2115bcsinA?bc?315,?bc?24，解方程组?得b?6,c?4，由余弦定理得 28?bc?24?1?a2?b2?c2?2bccosA?62?42?2?6?4?????64，所以a?8.

?4?考点：1.同角三角函数关系；2.三角形面积公式；3.余弦定理.

（14）在等腰梯形ABCD 中,已知AB//DC,AB?2,BC?1,?ABC?60 ,动点E 和F 分别在线段

ouuuruuuruuur1uuuruuuruuurDC, 则AE?AF的最小值为 . BC 和DC 上,且,BE??BC,DF?9?29【答案】

18【解析】

uuurruuur1uuuruuuruuuruuurruuur1?9?uuur1?9?uuur1uuu1uuu试题分析：因为DF? DC,DC?AB，CF?DF?DC?DC?DC?DC?AB，

9?29?9?18?uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur1?9?uuur1?9?uuuruuurAE?AB?BE?AB??BC，AF?AB?BC?CF?AB?BC?AB?AB?BC，

18?18?uuuruuuruuuruuur?1?9?uuuruuur?1?9?uuur2uuur2?ruuur1?9??uuuAE?AF?AB??BC??AB?BC??AB??BC??1???AB?BC

18???18??18???? ?21172117291?9?19?9?????2???? ?4????2?1?cos120??9?2189?2181818?18?ruuur212uuu29当且仅当??即??时AE?AF的最小值为.

9?2318DFCEAB

考点：1.向量的几何运算；2.向量的数量积；3.基本不等式.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分13分）已知函数f?x??sinx?sin?x?22?????，x?R 6?(I)求f(x)最小正周期； (II)求f(x)在区间[-pp,]上的最大值和最小值. 3431,f(x)min??. 42【答案】(I)?; (II) f(x)max?考点：1.两角和与差的正余弦公式；2.二倍角的正余弦公式；3.三角函数的图象与性质.

16. （本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有

来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.

(I)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；

(II)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望. 【答案】(I)

6; 35(II) 随机变量X的分布列为

X 1 2 3 4