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3.3.2 利用导数研究函数的极值(一)
学习目标 1.了解函数极值的概念，能从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．
知识点一 函数极值的概念 函数y＝f(x)的图象如图所示．
思考1 函数在点x＝a处的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？
思考2 f′(a)为多少？在点x＝a附近，函数的导数的符号有什么规律？
思考3 函数在点x＝b处的情况呢？
梳理 已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有f(x)
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____________与____________统称为极值．__________与____________统称为极值点．
知识点二 求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)________0，右侧f′(x)________0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)________0，右侧f′(x)________0，那么f(x0)是极小值．
类型一 求函数的极值和极值点 例1 求下列函数的极值： (1)f(x)＝2x＋3x－12x＋1； 3
(2)f(x)＝＋3ln x.
3
2
x
反思与感悟 求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f′(x)． (2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 特别提醒：在判断f′(x)的符号时，借助图象也可判断f′(x)各因式的符号，还可用特殊值法判断．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝e(ax＋b)－x－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4. (1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
类型二 已知函数极值求参数
例2 已知f(x)＝x＋3ax＋bx＋a在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值． 引申探究
若本例的条件改为“x＝－3，x＝－1是f(x)＝x＋3ax＋bx＋a的两个极值点”，求常数a，2
3
2
2
3
2
2
x2
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b的值．
反思与感悟 已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点： (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝ax＋bx＋cx在x＝x0处取得极大值5，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，求：
3
2
(1)x0的值； (2)a，b，c的值．
类型三 函数极值的综合应用 例3 设函数f(x)＝x－6x＋5，x∈R. (1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．
反思与感悟 利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．
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跟踪训练3 已知函数f(x)＝x－6x＋9x＋3，若函数y＝f(x)的图象与y＝f′(x)＋5x＋m3的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围． 3
3
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1．如图为y＝f(x)的导函数的图象，则下列判断正确的是( )
①f(x)在(－3,1)上为增函数； ②x＝－1是f(x)的极小值点；
③f(x)在(2,4)上为减函数，在(－1,2)上是增函数； ④x＝2是f(x)的极小值点． A．①②③ C．③④
B．②③ D．①③④
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2．函数f(x)＝x－4x＋4的极大值与极小值之和为( )
326
A．8 B. C．10 D．12
3
3．函数f(x)＝x＋ax＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于( ) A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知f(x)＝x＋ax＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( ) A．－1
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5．已知函数f(x)＝ax＋bln x在x＝1处有极值.
2(1)求a，b的值；
(2)判断f(x)的单调区间，并求极值．
1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．
2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)
3
2
3
2
4
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