2017_2018版高中数学第三单元导数及其应用3_3_2利用导数研究函数的极值一教学案新人教B版选修1_1

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跟踪训练3 解 由f(x)＝x－6x＋9x＋3， 可得f′(x)＝3x－12x＋9， 1

∴f′(x)＋5x＋m 312

＝(3x－12x＋9)＋5x＋m 3＝x＋x＋3＋m，

则由题意可得x－6x＋9x＋3＝x＋x＋3＋m有三个不相等的实根，即g(x)＝x－7x＋8x－m的图象与x轴有三个不同的交点． ∵g′(x)＝3x－14x＋8 ＝(3x－2)(x－4)，

2

∴令g′(x)＝0，得x＝或x＝4.

3

当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：

23

2

2

3

2

2

2

3

2

x g′(x) g(x) 2(－∞，) 3＋ ↗ 2 30 68－m 272(，4) 3－ ↘ 4 0 －16－(4，＋∞) ＋ ↗ m 268则函数g(x)的极大值为g()＝－m，极小值为g(4)＝－16－m.

3271

∴由y＝f(x)的图象与y＝f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同交点，

3268??g＝－m>0，

27得?3

??g4＝－16－m<0，68解得－16

68

即实数m的取值范围为(－16，)．

27当堂训练

1．B [当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0； 9

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当x∈(－1,2)时，f′(x)>0，

所以f(x)在(－3，－1)上为减函数，在(－1,2)上为增函数，故①不正确；

x＝－1是f(x)的极小值点，故②正确；

当x∈(2,4)时，f′(x)<0，f(x)是减函数，故③正确；

x＝2是f(x)的极大值点，故④不正确．]

2．A [由f′(x)＝x－4＝0， 得x1＝－2，x2＝2，

∴函数f(x)的极大值与极小值的和为

2

f(－2)＋f(2)＝8.]

3．D [因为f′(x)＝3x＋2ax＋3，

则f′(－3)＝3×(－3)＋2a×(－3)＋3＝0，所以a＝5.] 4．D [f′(x)＝3x＋2ax＋a＋6， 因为f(x)既有极大值又有极小值， 所以Δ＝(2a)－4×3×(a＋6)>0， 解得a>6或a<－3.]

5．解 (1)∵f′(x)＝2ax＋，

2

2

22

bxf′1＝0，??

由题意得?1

f1＝，?2?

1

∴a＝，b＝－1.

2(2)由(1)得

1x－1

f′(x)＝x－＝

2

2a＋b＝0，??

即?1

a＝，??2

xx＝

x＋1

xx－1

，x∈(0，＋∞)．

令f′(x)＝0，解得x＝1.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x f′(x) f(x) (0,1) － ↘ 1 0 极小值 (1，＋∞) ＋ ↗ ∴f(x)的单调递减区间为(0,1)，递增区间为(1，＋∞)． 1

∴f(x)极小值＝f(1)＝.

2

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