求递推数列的通项公式的九
种
方
法
则
a21a32a43?,?,?,……，a12a23a34利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.
anan?11? 逐项相乘得：n?，即an?1na1nan=
1. n三、换元法
例3 已知数列{an}，其中
一、作差求和法
例1 在数列{an}中，a1?3,an?1?an?an. 1，求通项公式n(n?1)413，且当n≥3时，,a2?391an?an?1?(an?1?an?2)，求通项公式an3a1?（1986年高考文科第八题改编）. 解：设bn?1?an?an?1，原递推式可化为： bn?1?解：原递推式可化为：1111则a2?a1??, an?1?an??nn?11211a3?a2?? 2311，……，a4?a3??3411逐项相加得：an?an?1??n?1n11an?a1?1?.故an?4?. nn1bn?2,{bn}是一个等比数列，313411b1?a2?a1???，公比为.故
93931111bn?1?b1?()n?2?()n?2?()n.故
39331an?an?1?()n.由逐差法可得：
3311an??()n. 223例4已知数列{an}，其中a1?1,a2?2，
二、作商求和法 例2 设数列{an}是首项为1的正项数列，且(n?1)an?1?nan?an?1an?0（n=1,2,3…），则它的通项公式是an=▁▁▁（2000年高考15题）
解：原递推式可化为： [(n?1)an?1?nan](an?1?an)=0
22且当n≥3时，an?2an?1?an?2?1，求通项公式an。解 由an?2an?1?an?2?1得：
(an?an?1)?(an?1?an?2)?1，令
bn?1?an?an?1，则上式为bn?1?bn?2?1，
因此{bn}是一个等差数列，b1?a2?a1?1，公差为1.故bn?n.。
由
于
an∵ an?1?an＞0， n?1?
ann?1b1?b2???bn?1?a2?a1?a3?a2???an?an?1?a
又b1?b2???bn?1?所
以
n(n?1) 2，
即
故
an?1?1n(n?1)21?an??222n2?(2?1)(2?1)???(2?1)(n?0) .
(n?1)
an?12(n?n?2) 2 四、积差相消法
例5（1993年全国数学联赛题一试第五题）设正数列a0，a1，an…，an，…满足
五、取倒数法
例6 已知数列{an}中，其中a1?1,，且当n≥2时，an?anan?2?an?1an?2=2an?1 (n?2)且a0?a1?1，求{an}的通项公式. an?1，求通项公式2an?1?1an。 解 将递推式两边同除以理得：an?1an?2整解 将an?ana?2n?1?1 an?1an?2an，则b1?an?1a1=1，a0an?1两边取倒数得：2an?1?1设bn=111??2，这说明{}是一个等差数anan?1an列，首项是bn?2bn?1?1，故有 1?1，公差为2，所以a1，即
b2?2b1?1 ⑴b3?2b2?1 ⑵ … … … … 1?1?(n?1)?2?2n?1anan?bn?2bn?1?1 (n?1) 由⑴?2+(n?21. 2n?1六、取对数法 + ⑵?2)n?3 +…n?120a1=3且an?1?an例7 若数列{an}中，得2（n是正整数），则它的通项公式是an=▁▁▁
bn?1?2?22???2n?1=2n?1，即
（2002年上海高考题）.
解 由题意知an＞0，将an?1?an两边
2ann=2?1. an?1逐
项
相
乘
得
：
取对数得lgan?1?2lgan，即
an=(2?1)2?(22?1)2???(2n?1)2，考虑
到a0?1，
lgan?1?2，lgan所以数列{lgan}是以lga1=lg3为首项，公比为
2
的
等
比
数
列
，
lgan?lga1?2n?1?lg32n?1 ，即an?32n?1.
比较（1）式与（2）式的系数可得??2，则有
1Sn?1七、平方（开方）法
例8 若数列{an}中，a1=2且
2，求它的通项公式是an?3?an?1（n?2）
?2?3(11?2)。?2}故数列{SnSn是以
1?2?3为首项，3为公比的等比数列。S1an.
解 将an?23?an?1两边平方整理得11?2=3?3n?1?3n。所以Sn?n。 Sn3?1当n?2，
2222an?an?1?3。数列{an}是以a1=4为首项，an?Sn?Sn?1。 11?2?3n?n??3?23n?1?232n?8?3n?123为公差的等差数列。2an?a12?(n?1)?3?3n?1。因为an＞0，数列{an}的通项公式是
所以an?3n?1。 八、待定系数法 待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列，可以少走弯路.其变换的基本形式如下： 1、an?1?Aan?B（A、B为常数）型，1?(n?1)??2?3n 。 an??(n?2)??32n?8?3n?12n2、an?1?Aan?B?C（A、B、C为常
数，下同）型，可化为
an?1???Cn?1=A(an???Cn）的形式.
例10 在数列{an}中，
可化为an?1??=A（an??）的形式. 例9 若数列{an}中，a1=1，Sn是数列a1??1,an?1?2an?4?3n?1,求通项公式
an。 {an}的前n项之和，且Sn?1?Sn3?4Sn① 解：原递推式可化为： （n?1），求数列{an}的通项公式是an. 解 递推式Sn?1an?1???3n?2(an???3n?1)比较系数得
Sn?可变形为3?4Sn?=-4，①式即是：
an?1?4?3n?2(an?4?3n?1).
n?1则数列{an?4?3}是一个等比数列，
1Sn?11?3??4 （1）
Sn1Sn?1???3(设（1）式可化为（2）
1??) n?1n?1Sn∴an?4?3??5?2
n?1n?1即an?4?3?5?2.
其首项a1?4?31?1??5，公比是2.
3、an?2?A?an?1?B?an型，可化为
∴bn?91n?1() 2212nan?2??an?1?(A??)?(an?1??an)的形
式。
例11 在数列{an}中，a1??1,a2?2，当n?N，an?2?5an?1?6an ① 求通项公式an.
解：①式可化为： 比较系数得?=-3或?=-2，不妨取?=-2.①式可化为： 则{an?1?2an}是一个等比数列，首项即 an?6n?9?9?() 故an?9?()?6n?9.
n12九、猜想法
运用猜想法解题的一般步骤是：首先利用所给的递推式求出a1,a2,a3,……，然后猜想出满足递推式的一个通项公式an，最后用数学归纳法证明猜想是正确的。 Sn例13 在各项均为正数的数列{an}中，
为数列{an}的前n项和，Sn=求其通项公式。 a2?2a1=2-2（-1）=4，公比为3. n?1∴an?1?2an?4?3.利用上题结果11(an+ )，
an2有： an?4?3n?1?5?2n?1求递推数列通项的特征根法. 与不动点法 一、形如an?2?pan?1?qan(p,q是常数）的数列 3，24、an?1?Aan?Bn?C型，可化为an?1??1n??2?A[an??1(n?1)??2]的形式。 例12 在数列{an}中，a1? 形如
2an?an?1=6n?3 ① 求通项公式an. 解 ①式可化为： a1?m1,a2?m2,an?2?pan?1?qan(p,q是
常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项an，其特征方程为
x2?px?q…①
2(an??1n??2)?an?1??1(n?1)??2 ② 比较系数可得：
若①有二异根?,?，则可令
an?c1?n?c2?n(c1,c2是待定常数）
?1 =-6，?2?9，② 式为2bn?bn?1
{bn} 是一个等比数列，首项
91b1?a1?6n?9?，公比为.
22 若①有二重根???，则可令
an?(c1?nc2)?n(c1,c2是待定常数）
再利用a1?m1,a2?m2,可求得
c1,c2，进而求得an．
a1?m,n?N*(A,B,C,D是常数且
C?0,AD?BC?0）
例
1．已知数列{an}满足
其特征方程为x?Ax?B，变形为
Cx?Da1?2,a2?3,an?2?3an?1?2an(n?N*)，求
Cx2?(D?A)x?B?0…②
数列{an}的通项an．
解：其特征方程为x2?3x?2，解得x1?1,x2?2，令an?c1?1n?c2?2n， 若②有二异根?,?，则可令
an?1??a???c?n（其中c是待定常
an?1??an??数），代入a1,a2的值可求得c值．
?a1?c1?2c2?2由?，得a?c?4c?3?212?an?1?2n?1． ?c1?1??1， c?2??2?an??? 这样数列??是首项为
a???n?a1??，公比为c的等比数列，于是这样a1??例
2．已知数列{an}满足可求得an． 若②有二重根???，则可令
11??c（其中c是待定常
an?1??an??a1?1,a2?2,4an?2?4an?1?an(n?N*)，求数列{an}的通项an． 解：其特征方程为4x2?4x?1，解得1?1?x1?x2?，令an??c1?nc2???， 2?2?n数），代入a1,a2的值可求得c值．
由1?a?(c?c)??112??12??a?(c?2c)?1?2212??4?1? 这样数列??是首项为
?an???1，公差为c的等差数列，于是这样an??，得?c1??43n?2， ?an?n?1． ?2?c2?6二、形如an?2?Aan?B的数列
Can?DAan?BCan?D可求得an．
此方法又称不动点法． 例
，
3．已知数列{an}满足
an?1?2(n?2)，求数列{an}2an?1?1 对于数列an?2?a1?2,an?
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