综合试题(一)
数学
时间：60分钟 总分：100分
[对应学生用书p323]
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．其中多项选择题全部选对得5分，部分选对得3分，有选错或不选得0分．)
z1
1．已知复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A(1，2)，B(－1，3)，则的虚部为( )
z2
A．1B．－iC．iD．－ [解析]由复数z1，z2在复平面上对应的点分别是A(1，2)，
z11＋2i（1＋2i）（－1－3i）
B(－1，3)，得z1＝1＋2i，z2＝－1＋3i，则＝＝＝
z2－1＋3i（－1＋3i）（－1－3i）5－5i1－i＝. 102
z11
的虚部为－，故选D. z22[答案]D
2．将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6点数的正方体玩具)先后抛掷2次，记第一次出现的点数为m，记第二次出现的点数为n，则m＝2n的概率为( )
1
212
A.B.C.D.
[解析]将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6点数的正方体玩具)先后抛掷2次，记第一次出现的点数为m，记第二次出现的点数为n，基本事件总数有：6×6＝36种，事件“m＝2n”包含的基本事件有：(2，1)，(4，2)，(6，3)共3个，所31
以事件“m＝2n”的概率为P＝＝.故选B.
3612
[答案]B
1111181296
??3．已知函数f(x)＝sin(ωx＋θ)?ω＞0，－≤θ≤?的图象相邻的两个对称中心
22??
之间的距离为，若将函数f(x)的图象向左平移后得到偶函数g(x)的图象，则函数f(x)
26的一个单调递减区间为( )
ππππ?ππ??π7π?A.?－，?B.?，? ?
3
6??4
12?
1
?π??π5π?C.?0，?D.?，? ?
3?
?26?
??[解析]函数f(x)＝sin(ωx＋θ)?ω＞0，－≤θ≤?的图象相邻的两个对称中心之
22??
间的距离为
πππ2
，则T＝π，所以ω＝2.将函数f(x)的图象向左平移
π6
后，得到g(x)＝
πππ??sin?2x＋＋θ?是偶函数，故＋θ＝kπ＋(k∈Z)，
?
3
?
32
π
解得θ＝kπ＋(k∈Z)，
6
πππ由于－≤θ≤，所以当k＝0时θ＝.
226
π?ππ3ππ?2x＋则f(x)＝sin?，令＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得＋kπ≤x≤k?6?2626?2π
π＋(k∈Z)，
3
?π2π??π7π??π2π?当k＝0时，单调递减区间为?，?，由于?，???，?，故选B.
3?3??6?412??6
[答案]B
4．已知拋物线C：y＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点M在第一象限的拋物线C上，直线MF的斜率为3，点M在直线l上的射影为A，且△MAF的面积为43，则p的值为( )
2
A．1B．2 C．23D．4
1
[解析]由抛物线的定义知S△MAF＝MF·MAsin60°＝43，得MA＝MF＝4，所以△MAF为
2等边三角形，MA＝2p＝4，p＝2，故选B.
[答案]B
5．(多选)函数f(x)的定义域R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则 ( ) A．f(x)为奇函数B．f(x)为周期函数 C．f(x＋3)为奇函数D．f(x＋4)为偶函数
[解析]由题意知f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x＋2)＝－f(x＋2)， 所以f(－x)＝f[－(x＋1)＋1]＝－f(x＋1＋1) ＝－f(x＋2)＝f(－x＋2)，
所以f(x)是周期为2的周期函数，B正确； 又f(－x)＝f(－x＋2)＝－f(x＋2)＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数，A正确；
2
又f(－x＋3)＝f(－x＋1)＝－f(x＋1)＝－f(x＋3)， 所以f(－x＋3)为奇函数，C正确；
f(－x＋4)＝f(－x)＝－f(x)＝－f(x＋4)．
所以f(－x＋4)也是奇函数，D错误． [答案]ABC
1???1?6．若不等式?lnx＋－m?≤m＋e对x∈?，1?成立，则实数m的取值范围是( ) x???e?1??1??A.?－，＋∞?B.?－∞，－?
?2
1
?2
??2?
??C.?－，1?D．[1，＋∞)
?
1e?1?[解析]设t＝lnx＋，由x∈?，1?，则t∈[1，e－1]；当m≤时，|t－m|max＝e－1－
x2?e?1e1
m≤m＋e，解得：m≥－；当m>时，|t－m|max＝m－1≤m＋e，恒成立；综上知：m≥－时，
2221???1?不等式?lnx＋－m?≤m＋e对x∈?，1?成立．
x???e?
[答案]A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．) →→→
7．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H.若AH＝λAB＋μBC，则λ＋μ＝____________．
→1[解析]由AB＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，知BH＝ABcos60°＝1，又BC＝3，所以BH＝
3→BC，
→→→→1→所以AH＝AB＋BH＝AB＋BC，
314
所以λ＝1，μ＝，λ＋μ＝. 334
[答案] 3
x＋y＋2≥0，??
8．已知x，y满足约束条件?x－y－2≤0，则目标函数z＝2x－y的最大值为________．
??y＋1≤0，
3
[解析]画出不等式组表示的可行域(三角形)，由z＝2x－y得到y＝2x－z，平移直线y＝2x－z，由图形得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最大值．
???x－y－2＝0，?x＝1，?由解得?所以点A的坐标为(1，－1)，得zmax＝2×1－(－1)＝3. ???y＝－1，?y＝－1，
[答案]3
9．若函数f(x)称为“准奇函数”，则必存在常数a，b，使得对定义域的任意x值，均x有f(x)＋f(2a－x)＝2b.已知f(x)＝为“准奇函数”，则a＋b＝________．
x－1
[解析]由f(x)＋f(2a－x)＝2b知“准奇函数”f(x)关于点(a，b)对称；因为f(x)＝关于(1，1)对称，所以a＝1，b＝1，a＋b＝2.
[答案]2
10．已知等腰△ABC的面积为4，AD是底边BC上的高，沿AD将△ABC折成一个直二面角，则三棱锥A－BCD的外接球的表面积的最小值为______________．
[解析]设AD＝a，BC＝2b，则ab＝4；由已知，BD⊥平面ADC，将三棱锥补形为一个长方体，则三棱锥A－BCD的外接球就是该长方体的外接球，且该长方体的长宽高分别为a、b、b，则球的直径2R＝a＋b＋b＝a＋2b，则球的表面积为S＝4πR＝(a＋2b)π，因a＋2b≥22ab＝82，故Smin＝82π.
[答案]82π
三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
x－1
11．(16分) 如图，在梯形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，M为AD上一点，AM＝2MD＝2，∠BMC＝60°.
(1)若∠AMB＝60°，求BC；
4
(2)设∠DCM＝θ，若MB＝4MC，求tanθ.
[解析] (1)由∠BMC＝60°，∠AMB＝60°，得∠CMD＝60°. 在Rt△ABM中，MB＝2AM＝4； 在Rt△CDM中，MC＝2MD＝2.
在△MBC中，由余弦定理得，BC＝BM＋MC－2BM·MC·cos∠BMC＝12， 所以BC＝23.
(2)因为∠DCM＝θ，所以∠ABM＝60°－θ，0°＜θ＜60°. 在Rt△MCD中，MC＝在Rt△MAB中，MB＝
1
2
2
2
sinθ
；
2
，
sin（60°－θ）
由MB＝4MC得，2sin(60°－θ)＝sinθ，
所以3cosθ－sinθ＝sinθ，即2sinθ＝3cosθ， 整理可得tanθ＝
3. 2
12．(16分)如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的菱形，且平面ABCD⊥1
平面DCE.AF∥DE，且AF＝DE＝2，BF＝22.
2
(1)求证：AC⊥BE；
(2)若点F到平面DCE的距离为3，求直线EC与平面BDE所成角的正弦值．
[解析] (1)∵AF＝AB＝2，BF＝22， ∴AF＋AB＝BF，
∴∠FAB＝90°，即AF⊥AB. ∵AF∥DE，AB∥CD， ∴DE⊥DC.
2
2
2
5
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