?4?12???a?4?a2解得?2，???????????1分 ?21??b?1???122?2b?ax2∴椭圆C1的标准方程为?y2?1，???????????2分
4设抛物线C2:y2?2px(p?0)，则有
p?1，∴2p?4，???????????3分 2∴抛物线的标准方程为y2?4x ???????????4分
（2）假设存在这样的直线l过抛物线焦点F(1,0)，设直线l的方程为x?1?my, 两交点坐标为M(x1,y1),N(x2,y2)，??????????4分 则kOM?y1y,kON?2，??????????5分 x1x2?x?1?my?由?x2消去x，得(m2?4)y2?2my?3?0,??????????6分
2??y?1?4判别式??16(m?3) ，两根为y1,2?∴y1?y2?2?2m?? 22(m?4)?2m?3,yy?①，??????????7分 1222m?4m?4x1x2?(1?my1)(1?my2)?1?m(y1?y2)?m2y1y2??????????8分
?2m?34?4m22?1?m?2?m?2?2 ② ??????????9分
m?4m?4m?4由直线OM与直线ON垂直，
即kOM?kON??1，得x1x2?y1y2?0(*)，??????????10分
4?4m2?31?2?0， 解得m??将①②代入（*）式，得2???????11分
2 m?4m?4所以假设成立，即存在直线l满足条件，
且l的方程为：y?2x?2或y??2x?2。???????12分
21.解：函数f(x)的定义域为(0,??),
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x（1）当a?e时,f(x)?ex?elnx?e,f?(x)?e?e, ????1分 xx而f?(x)?e?e在(0,??)上单调递增,又f?(1)?0, x当0?x?1时,f?(x)?f?(1)?0,则f(x)在(0,1)上单调递减；
当x?1时,f?(x)?f?(1)?0,则f(x)在(1,??)上单调递增, ????2分 所以f(x)有极小值f(1)?0,没有极大值． ????3分 （2）先证明：当f(x)?0恒成立时,有 0?a?e成立． 若0?x?1,则f(x)?ex?a(lnx?1)?0显然成立；????4分 eex1若x?,由f(x)?0得a?,
elnx?11ex(lnx?1?)ex,????5分 令?(x)?,则??(x)?(lnx?1)2lnx?1x令g(x)?lnx?1?1111(x?),由g'(x)??2?0得
xxxe1g(x)在(,??)上单调递增,
e又因为g(1)?0,所以??(x)在(,1)上为负,在(1,??)上为正, 因此?(x)在(,1)上递减,在(1,??)上递增,所以?(x)min??(1)?e, 从而0?a?e．????6分
因而函数y?f(x)若有两个零点,则a?e, 所以f(1)?e?a?0,
aa由f(a)?e?alna?a(a?e)得f?(a)?e?lna?2,则
1e1ef??(a)?ea?111?ea??e??0, aeea所以f?(a)?e?lna?2在(e,??)上单调递增, 所以f?(a)?f?(e)?e?3?e?3?0, 所以f(a)?e?alna?a在(e,??)上单调递增,
ae2- 10 -
所以f(a)?f(e)?ee?2e?e2?2e?0, 则f(1)f(a)?0,所以1?x2?a,????8分
111111由a?e得f()?ea?aln?a?ea?alna?a?ea?alne?a?ea?0,
aa则f(1)f()?0,所以综上得
1a1?x1?1, a1?x1?1?x2?a． ????9分 a（3）由（2）知当a?e时,f(x)?0恒成立,所以f(x)?ex?elnx?e?0, 即f(x)?ex?elnx?e,设h(x)?x1?x?(x?0)h(x)?,则,
exex当0?x?1时,??(x)?0 ,所以g(x)在(0,1)上单调递增；
当x?1时,h?(x)?0,所以g(x)在(1,??)上单调递增, ????10分
x1x1x(x?0)h(1)???e,????11分 的最大值为,即,因而exeexeex?2xx所以f(x)?e?elnx?e?x?2,即f(x)?e2x?2?ex?1lnx?x?0． ????12分
e所以h(x)?考点：1．用导数研究函数的最值和极值；2．零点存在性定理；3．构造函数证明不等式. 四、选做题
21．解法1:连接BC,则?ACB??APE?90, ????1分 即B、P、E、C四点共圆. ∴?PEC??CBA????2分 又A、B、C、D四点共圆,∴?CBA??PDF????3分
∴?PEC??PDF∵?PEC??PDF, ????5分 ∴F、E、C、D四点共圆, ????6分 ∴PE?PF?PC?PD,????7分
又PC?PD?PB?PA?2?(2?10)?24, ????9分
?PE?PF?24. ??????10分
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解法2: （Ⅰ）连接BD,则BD?AD,又EP?AP ∴?PDF??PDB??PEA??EAP?90, ????3分 ∵?PDB??EAP,∴?PEC??PDF????5分 （Ⅱ）∵?PEC??PDF,?EPC??DPF, ∴?PEC∽?PDF,????7分
?PCPE?PD, 即PE?PF?PC?PD, ???8分 ∴PF又∵PC?PD?PB?PA?2(2?10)?24,
∴PE?PF?24 ??????10分.
2222.【答案】（1）x?(y?1)?1，x?y?2?0；
（2）直线l与曲线C相交.
22解：（1）曲线C的普通方程为x?(y?1)?1，
?2?2??sin??cos??sin(??)?2?将化为??2??2， 24??化简得直线l的直角坐标方程为x?y?2?0????????????5分 （2）曲线C是以（0，1）为圆心1为半径的圆， 圆心到直线l的距离d?0?1?212?12?2?1， 2故直线l与曲线C相交????????????????????10分
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23.解:（1）由题意：x?a?3，即?3?x?a?3???????1分 所以，当?1?x?3时，a?3?x?a?3恒成立???????2分 所以??a?3??1，所以a??0,2????????5分
a?3?3?（2）因为f(x?a)?f(x?a)?x?2a?x?x?2a?x?2a?1?2a???7分 所以可化为?解得a?
?1?2a?0 或 1?2a?0
?2a?1?2a1???????10分 4
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