二次函数压轴专题
四、二次函数新定义问题 例4.小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：
求解体验 (1)已知抛物线 经过点(-1,0),则 = ，顶点坐标为 ，该抛物线关于点(0,1）成中心对称的抛物线的表达式是 .
抽象感悟：我们定义：对于抛物线 ,以 轴上的点 为中心，作该抛物线关于 点 对称的抛物线 ,则我们又称抛物线 为抛物线 的“衍生抛物线”，点 为“衍生中心”.
(2)已知抛物线 关于点 的衍生抛物线为 ，若这两条抛物线有交点，求 的取值范围. 问题解决(3) 已知抛物线 ，若抛物线 的衍生抛物线为 ,两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求 ， 的值及衍生中心的坐标；
【答案】求解体验： ；顶点坐标是(-2,1)； ；抽象感悟： ；问题解决：① ；
（0，6）；
【解析】【分析】(1)把(-1，0)代入 即可未出 =-4，然后把抛物线解析式变为顶点式即可求得抛物线的顶点坐标，继而可得顶点关于（0，1）的对称点，从而可写出原抛物线关于点(0，1）成中心对称的抛物线的表达式；
（2）先求出抛物线 的顶点是（-1，6），从而求出 (-1，6)关于 ， 的对称点是 ， ，得 ，根据两抛物线有交点，可以确定方程 有解，继而求得m的取值范围即可；
1
(3) ①先求出抛物线 以及抛物线 的衍生抛物线为 ，的顶点坐标，根据两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求 ， 的值及再根据中点坐标公式即可求出衍生中心的坐标；
练习1．在平面直角坐标系中，我们定义直线 为抛物线 、b、c为常数， 的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．
已知抛物线 于点C．
与其“梦想直线”交于A、B两点 点A在点B的左侧 ，与x轴负半轴交
填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为______，点A的坐标为______，点B的坐标为______； 如图，点M为线段CB上一动点，将 以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若 为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；
当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
； ； ；（2）N点坐标为
或
；（3） 、
或 、
【解析】试题分析：（1）由梦想直线的定义可求得其解析式，联立梦想直线与抛物线解析式可求得A、B的坐标；
（2）当N点在y轴上时，过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求得ON的长，可求得N点坐标；当M点在y轴上即M点在原点时，过N作NP⊥x轴于点P，由条件可求得∠NMP=60°，在Rt NMP中，可求得MP和NP的长，则可求得N点坐标；
2
（3）当AC为平行四边形的一边时，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，可证 EFH≌△ACK，可求得DF的长，则可求得F点的横坐标，从而可求得F点坐标，由HE的长可求得E点坐标；当AC为平行四边形的对角线时，设E（﹣1，t），由A、C的坐标可表示出AC中点，从而可表示出F点的坐标，代入直线AB的解析式可求得t的值，可求得E、F的坐标．
练习2．若二次函数 和 的图象关于原点成中心对称，我们就称其中一个函数是另一个函数的中心对称函数，也称函数 和 互为中心对称函数． 求函数 的中心对称函数；
如图，在平面直角坐标系xOy中，E，F两点的坐标分别为 ， ，二次函数 的图象经过点E和原点O，顶点为 已知函数 和 互为中心对称函数； 请在图中作出二次函数 的顶点 作图工具不限 ，并画出函数 的大致图象； 当四边形EPFQ是矩形时，请求出a的值；
已知二次函数 和 互为中心对称函数，且 的图象经过 的顶点当 时，求代数式
的最大值．
【答案】 ； 画图见解析； a的值为 ； 当 时， 有最大值，最大值为3．
3
【解析】
利用配方法得到 ，则此抛物线的顶点坐标为 ，利用中心对称的性质得点 关于原点对称的点的坐标为 ，然后利用顶点式写出函数 的中心对称函数解析式； 作P点关于原点的对称点得到q点，然后大致画出顶点为Q，经过原点和F点的抛物线；
利用矩形的性质得 ，则利用抛物线的对称性得到 ，则可判定 为等边三角形，作 于H，如图，易得 ， ，所以 ，设交点式 ，然后把P点坐标代入即可得到a的值；
把 化为顶点式得到抛物线 的顶点坐标为 ，利用关于原点对称的点的坐标特征得到抛物线 的顶点坐标为 ，再把 代入 得 ，所以 ，然后利用二次函数的性质解决问题．
练习3．我们定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数 例如： 的友好同轴二次函数为 ． 请你分别写出 ， 的友好同轴二次函数；
满足什么条件的二次函数没有友好同轴二次函数？满足什么条件的二次函数的友好同轴二次函数是它本身？
如图，二次函数 ： 与其友好同轴二次函数 都与y轴交于点A，点B、C分别在 、 上，点B，C的横坐标均为 ，它们关于 的对称轴的对称点分别为 ， ，连结 ， ， ，CB．
若 ，且四边形 为正方形，求m的值；
若 ，且四边形 的邻边之比为1：2，直接写出a的值．
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