【答案】 函数 的友好同轴二次函数为 ；函数 的友好同轴二次函数为 ； 二次项系数为1的二次函数没有友好同轴二次函数；二次项系数为 的二次函数的友好同轴二次函数是它本身； 的值为
； 的值为 、 、 或 ．
【分析】(1)根据友好同轴二次函数的定义，找出 、 的友好同轴二次函数即可； (2)由二次项系数非零可得出二次项系数为1的二次函数没有友好同轴二次函数，由友好同轴二次函数的定义可知：二次项系数为的二次函数的友好同轴二次函数是它本身；
(3)根据二次函数L_1的解析式找出其友好同轴二次函数L_2的函数解析式．
①代入a=3，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点B、C、B'、C'的坐标，进而可得出BC、BB'的值，由正方形的性质可得出BC=BB'，即关于m的一元二次方程，解之取其大于0小于2的值即可得出结论； ②由m=1，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点B、C、B'、C'的坐标，进而可得出BC、BB'的值，由两边之比为1：2，即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
练习4．如果一条抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，［a，b，c］称为“抛物线系数”． （1）任意抛物线都有“抛物线三角形”是______（填“真”或“假”）命题； （2）若一条抛物线系数为［1，0，－2］，则其“抛物线三角形”的面积为________；
（3）若一条抛物线系数为［－1，2b，0］，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式； （4）在（3）的前提下，该抛物线的顶点为A，与x轴交于O，B两点，在抛物线上是否存在一点P，过P作PQ⊥x轴于点Q，使得△BPQ∽ OAB，如果存在，求出P点坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）假；（2） ；（3）y＝－x2＋2x 或y＝－x2－2x；（4）P（1，1）或P（－1，－3）或P（1，
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－3）或（－1，1）．
【解析】分析：（1）当△＞0时，抛物线与x轴有两个交点，由此可得出结论； （2）根据“抛物线三角形”定义得到 ，由此可得出结论；
（3）根据“抛物线三角形”定义得到y＝－x2＋2bx，它与x轴交于点（0，0）和（2b，0）； 当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形，
由抛物线顶点为（b，b2），以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到 ，解方程即可得到结论；（4）分两种情况讨论：①当抛物线为y＝－x2＋2x 时，②当抛物线为y＝－x2－2x 时．
练习5．对某一个函数给出如下定义：若存在实数 ，对于函数图象上横坐标之差为1的任意两点 ， ， 都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的 中，其最大值称为这个函数的限减系数．例如，函数 ，当 取值 和 时，函数值分别为 ， ，故 ，因此函数 是限减函数，它的限减系数为 ． （1）写出函数 的限减系数；
（2） ，已知 （ ）是限减函数，且限减系数 ，求 的取值范围． （3）已知函数 的图象上一点 ，过点 作直线 垂直于 轴，将函数 的图象在点 右侧的部分关于直线 翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数 ，直接写出 点横坐标 的取值范围．
【答案】（1）2；（2） （3）-
【解析】分析: 根据题目中限减函数以及限减系数的定义分析即可. 若 ，则 ，（ ，
）和（ ， ）是函数图象上两点， ，与
函数的限减系数 不符，接下来分 和 两种情况进行讨论即可. 首先写出泛着后新函数的函数解析式，根据限减函数的定义进行判定即可.
练习6．定义：若抛物线L2：y=mx2+nx（m≠0）与抛物线L1：y=ax2+bx（a≠0）的开口大小相同，方向相反，且抛物线L2经过L1的顶点，我们称抛物线L2为L1的“友好抛物线”． （1）若L1的表达式为y=x2﹣2x，求L1的“友好抛物线”的表达式；
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（2）已知抛物线L2：y=mx2+nx为L1：y=ax2+bx的“友好抛物线”．求证：抛物线L1也是L2的“友好抛物线”； （3）平面上有点P（1，0），Q（3，0），抛物线L2：y=mx2+nx为L1：y=ax2的“友好抛物线”，且抛物线L2的顶点在第一象限，纵坐标为2，当抛物线L2与线段PQ没有公共点时，求a的取值范围． 【答案】（1）y=﹣x；（2）答案见解析；（3）0＜a＜或a＞8．
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【解析】试题分析：（1）设L1的“友好抛物线”的表达式为：y=﹣x2+bx，根据L1：y=x2﹣2x可得其顶点坐标，代入y=﹣x2+bx可得b的值，进而得出L1的“友好抛物线”；
（2）先求出抛物线L1和L2的顶点坐标，根据L2过L1 的顶点，得出bn=0，进而得到抛物线L1经过L2的顶点，再根据L2与L1的开口大小相同，方向相反，即可得出抛物线L1也是L2的“友好抛物线”；
（3）根据“友好抛物线”的定义，得到m=﹣a，进而得到L2的顶点为（ ， ）．根据抛物线L2的顶点在第一象限，纵坐标为2，可得a= n2＞0．再根据L2经过点P（1，0），得到a=8．根据L2经过点Q（3，0），得到a=．进而得出抛物线L2与线段PQ没有公共点时，a的取值范围．
练习7．定义：顶点、开口大小相同，开口方向相反的两个二次函数互为“反簇二次函数”． （1）已知二次函数y=﹣(x﹣2)2＋3，则它的“反簇二次函数”是__________________；
（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣2mx＋m+1和y2=ax2+bx＋c，其中y1的图像经过点（1，1）.若y1＋y2与y1互为“反簇二次函数”.求函数y2的表达式，并直接写出当0≤x≤3时，y2的最小值． 【答案】(1)、y=（x﹣2）2+3；(2)、－16．
【解析】分析：(1)、根据“反簇二次函数”的定义得出答案；(2)、根据y1的图像经过点A（1,1）求出m的值，然后得出y1+y2的函数解析式，根据“反簇二次函数”的定义得出a、b、c的值，从而得出y2的函数解析式，根据二次函数的性质得出最小值．
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练习8．如图①，若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B在抛物线L1上(点A与点B不重合)，我们把这样的两抛物线L1、L2称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条． （1）抛物线L1：y＝－x2＋4x－3与抛物线L2是“伴随抛物线”，且抛物线L2的顶点B的横坐标为4，求抛物线L2的表达式；
（2）若抛物线y＝a1(x－m)2＋n的任意一条“伴随抛物线”的表达式为y＝a2(x－h)2＋k，请写出a1与a2的关系式，并说明理由；
（3）在图②中，已知抛物线L1：y＝mx2－2mx－3m(m>0)与y轴相交于点C，它的一条“伴随抛物线”为L2，抛物线L2与y轴相交于点D，若CD＝4m，求抛物线L2的对称轴．
【答案】（1）抛物线L2的表达式为y＝(x－4)2－3 ；（2）a1＝－a2 ， 理由见解析；（3）抛物线L2的对称轴为x＝±2 . 【解析】
试题分析：（1）先分别求得点A、点B的坐标，然后再利用待定系数法进行求解即可；
（2）根据：抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上，可以列出两个方程，相加可得：（a1+a2 ）（m-h）2=0，可得a1=-a2；
（3）易得抛物线L1的顶点坐标为(1，－4m)，设抛物线L2的顶点的横坐标为h，则其纵坐标为mh2－2mh－3m，则有抛物线L2的表达式为y＝－mx2＋2mhx－2mh－3m，从而得点D的坐标为(0，－2mh－3m)，再根据点C的坐标为(0，－3m)，从而可得|(－2mh－3m)－(－3m)|＝4m，解得h＝±2，从而得抛物线L2的对称轴为x＝±2.
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