∴∠CAO=∠DBA，即点D满足条件， ∴D（3，2）； 当点D在x轴下方时， ∵∠DBA=∠CAO， ∴BD∥AC， ∵C（0，2），
∴可设直线AC解析式为y=kx+2，把A（-1，0）代入可求得k=2， ∴直线AC解析式为y=2x+2，
∴可设直线BD解析式为y=2x+m，把B（4，0）代入可求得m=-8， ∴直线BD解析式为y=2x-8，
?y?2x?8?x?4?x??5?联立直线BD和抛物线解析式可得?解得?或?， 123y??18y?0y??x?x?2???22?∴D（-5，-18）；
综上可知满足条件的点D的坐标为（3，2）或（-5，-18）； （3）设P?t,???123?t?t?2?∵AB=5，OC=2， 22?∴S△PAB=
1?1235215??t?t?2?5??t?t?5， ??2?2244??OF1?13， ?t2?t?2t?1221?OF??(t?4)，
2111?1??SVAFO??1???(t?4)???(t?4)，且SVBOC??2?4，
242?2?515155?8?16?S1?S2??t2?t?5?(t?4)?4??t2?4t???t???，
44444?5?5∴当t=时，有S1-S2有最大值，最大值为【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、三角形的面积、二次函数的性质、方程思想伋分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出D点的位置是解题的关键，在（3）中用P点的坐标分别表示出两个三角形的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量大，难度
28516. 5较大．
3．（2019·山西中考真题）综合与探究
如图，抛物线y?ax?bx?6经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D
2的横坐标为m(1?m?4).连接AC，BC，DB，DC． (1)求抛物线的函数表达式；
(2)△BCD的面积等于△AOC的面积的
3时，求m的值； 4(3)在(2)的条件下，若点M是x轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)y??【解析】 【分析】
323x?x?6；(2)3；(3)M1(8,0),M2(0,0),M3(14,0),M4(?14,0). 42(1)利用待定系数法进行求解即可；
(2)作直线DE⊥x轴于点E，交BC于点G，作CF⊥DE，垂足为F，先求出S△OAC=6，再根据S△BCD=
3S△AOC，得4到S△BCD =
933，然后求出BC的解析式为y??x?6，则可得点G的坐标为(m,?m?6)，由此可得
22231DG??m2?3m，再根据S△BCD=S△CDG+S△BDG=?DG?BO，可得关于m的方程，解方程即可求得答案；
42(3)存在，如下图所示，以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图，以BD为边时，有3种情况，由点D的坐标可得点N点纵坐标为±
151515，然后分点N的纵坐标为和点N的纵坐标为?两种情况分别求解；以BD444为对角线时，有1种情况，此时N1点与N2点重合，根据平行四边形的对边平行且相等可求得BM1=N1D=4，继而求得OM1= 8，由此即可求得答案. 【详解】
(1)抛物线y?ax2?bx?c经过点A(-2,0)，B(4,0)，
∴??4a?2b?6?0，
16a?4b?6?0?3?a????4解得?，
3?b??2?∴抛物线的函数表达式为y??323x?x?6； 42(2)作直线DE⊥x轴于点E，交BC于点G，作CF⊥DE，垂足为F， ∵点A的坐标为(-2,0)，∴OA=2，
由x?0，得y?6，∴点C的坐标为(0,6)，∴OC=6， ∴S△OAC=∵S△BCD=∴S△BCD =
11?OA?OC??2?6?6， 223S△AOC， 439?6?， 42设直线BC的函数表达式为y?kx?n，
3?k???4k?n?0?由B，C两点的坐标得?，解得?2，
n?6???n?6∴直线BC的函数表达式为y??∴点G的坐标为(m,?3x?6， 23m?6)， 2323332∴DG??m?m?6?(?m?6)??m?3m，
4224∵点B的坐标为(4,0)，∴OB=4，
1111?DG?CF??DG?BE??DG(CF?BE)??DG?BO， 22221323?4??m2?6m， ∴S△BCD =（?m?3m）242329∴?m?6m?，
22∵S△BCD=S△CDG+S△BDG=解得m1?1(舍)，m2?3， ∴m的值为3；
(3)存在，如下图所示，以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图， 以BD为边时，有3种情况， ∵D点坐标为(3,1515)，∴点N点纵坐标为±，
4415时，如点N2， 4当点N的纵坐标为此时?32315x?x?6?，解得：x1??1,x2?3(舍)， 42415∴N2(?1,)，∴M2(0,0)；
415当点N的纵坐标为?时，如点N3，N4，
432315此时?x?x?6??，解得：x1?1?14,x2?1?14 4241515∴N3(1?14,?)，N4(1?14,?)，
44∴M3(14,0)，M4(?14,0)；
以BD为对角线时，有1种情况，此时N1点与N2点重合， ∵N1(?1,1515)，D(3，)，
44∴N1D=4， ∴BM1=N1D=4， ∴OM1=OB+BM1=8， ∴M1(8，0)，
综上，点M的坐标为：M1(8，，0)M2(0，，0)M3(14，，0)M4(?14，0).
相关推荐：
loading