【点睛】
本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 4．（2018·四川中考真题）如图，抛物线y=
121x+bx+c与直线y=x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连22接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）． （1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；
（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式是y=【解析】
125x+x+3；（2）|MB﹣MD|取最大值为2；（3）存在点P（1，6）． 22分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据对称性，可得MC=MD，根据解方程组，可得B点坐标，根据两边之差小于第三边，可得B，C，M共线，根据勾股定理，可得答案；
（3）根据等腰直角三角形的判定，可得∠BCE，∠ACO，根据相似三角形的判定与性质，可得关于x的方程，根据解方程，可得x，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 详解：（1）将A（0，3），C（﹣3，0）代入函数解析式，得
5?c?3??b??，解得?2， ?9?3b?c?0???c?3?2抛物线的解析式是y=
125x+x+3； 22（2）由抛物线的对称性可知，点D与点C关于对称轴对称， ∴对l上任意一点有MD=MC，
?y???联立方程组??y???1x?32 ，
125x?x?322?x?0?x??4解得?（不符合题意，舍），?，
y?3y?1??∴B（﹣4，1），
当点B，C，M共线时，|MB﹣MD|取最大值，即为BC的长， 过点B作BE⊥x轴于点E，
，
在Rt△BEC中，由勾股定理，得 BC=BE2?CE2?2， |MB﹣MD|取最大值为2；
（3）存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似， 在Rt△BEC中，∵BE=CE=1， ∴∠BCE=45°， 在Rt△ACO中， ∵AO=CO=3， ∴∠ACO=45°，
∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°， 过点P作PQ⊥y轴于Q点，∠PQA=90°，
设P点坐标为（x，
125x+x+3）（x＞0） 22①当∠PAQ=∠BAC时，△PAQ∽△CAB， ∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB， ∴△PGA∽△BCA，
BCACPGBC1???， ，即PGAGADAC3x1?∴125，
x?x?3322∴
解得x1=1，x2=0（舍去）， ∴P点的纵坐标为∴P（1，6），
②当∠PAQ=∠ABC时，△PAQ∽△CBA， ∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠ABC， ∴△PGA∽△ACB，
15×12+×1+3=6， 22BCAC?， AGPGPGAC?即=3， AGPGx?3∴125，
x?x?3?32213解得x1=﹣（舍去），x2=0（舍去）
3∴
∴此时无符合条件的点P， 综上所述，存在点P（1，6）．
点睛：本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用待定系数法求函数解析式；解（2）的关键是利用两边只差小于第三边得出M，B，C共线；解（3）的关键是利用相似三角形的判定与性质得出关于x的方程，要分类讨论，以防遗漏．
5．（2019·辽宁中考真题）某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系如图所示．
（1）根据图象直接写出y与x之间的函数关系式．
（2）设这种商品月利润为W（元），求W与x之间的函数关系式．
（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？
??x2?210x?5400(40?x?60)??x?180(40?x?60);（3）这种商品的销售单【答案】（1）y＝?；（2）W＝?2?3x?300(60?x?90)???3x?390x?9000(60?x?90)价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675． 【解析】 【分析】
（1）当40≤x≤60时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，当60＜x≤90时，设y与x之间的函数关系式为y=mx+n，解方程组即可得到结论；
（2）当40≤x≤60时，当60＜x≤90时，根据题意即可得到函数解析式；
60-5400=3600，当60＜x≤90时，（3）当40≤x≤60时，W=-x2+210x-5400，得到当x=60时，W最大=-602+210×
W=-3x2+390x-9000，得到当x=65时，W最大=-3×652+390×65-9000=3675，于是得到结论． 【详解】
解：（1）当40≤x≤60时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b， 将（40，140），（60，120）代入得??40k?b?140，
60k?b?120??k??1解得：?，
b?180?∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+180；
当60＜x≤90时，设y与x之间的函数关系式为y＝mx+n， 将（90，30），（60，120）代入得??90m?n?30，
60m?n?120??m??3解得：?，
n?300?∴y＝﹣3x+300；
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