点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．
【答案】（1）y＝－x2＋3x＋4.；（2）x＝2时，△AMA′的面积最大，最大值为8， M(2，6)．（3）P1（0，4），P2（3，4），P3（（3，0）． 【解析】
试题分析：（1）先由OA′＝OA得到点A′的坐标，再用点C、A、A′的坐标即可求此抛物线的解析式；（2）连接AA′, 过点M 作MN⊥x轴，交AA′于点N,把△AMA′分割为△AMN和△A′MN, △AMA′的面积＝△AMA′的面积＋△AMN的面积＝OA′?MN,设点M的横坐标为x，借助抛物线的解析式和AA′的解析式，建立MN的长关于x的函数关系式，再据此建立△AMA′的面积关于x的二次函数关系式，再求△AMA′面积的最大值以及此时M的坐标；（3）在P、N、B、Q 这四个点中，B、Q 这两个点是固定点，因此可以考虑将BQ作为边、将BQ作为对角线分别构造符合题意的图形，再求解.
试题解析：（1）∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，点A的坐标是（0，4），∴点A′的坐标为（4，0），点B的坐标为（1，4）.
∵抛物线过点C，A，A′，设抛物线的函数解析式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）,可得：
. 解得：
.∴抛物线的函数解析式为y＝－x2＋3x＋4.
3+413?41，﹣4），P4（，﹣4）；点N的坐标为：（0，0）或22
（2）连接AA′，设直线AA′的函数解析式为y＝kx＋b，可得
.解得：.
∴直线AA'的函数解析式是y＝－x＋4. 设M（x，－x2＋3x＋4），
S△AMA′＝×4×[－x2＋3x＋4一（一x＋4）]＝一2x2＋8x＝一2（x－2）2＋8. ∴x＝2时，△AMA′的面积最大S△AMA′＝8． ∴M（2，6）.
（3）设P点的坐标为（x，－x2＋3x＋4），当P、N、B、Q构成平行四边形时， ①当BQ为边时，PN∥BQ且PN＝BQ， ∵BQ＝4，∴一x2＋3x＋4＝±4.
当一x2＋3x＋4＝4时，x1＝0，x2＝3，即P1（0,4），P2（3，4）； 当一x2＋3x＋4＝一4时，x3＝
，x4＝
，即P3（
,－4），P4（
，－4）；
②当BQ为对角线时，PB∥x轴，即P1（0，4），P2（3，4）;
当这个平行四边形为矩形时，即Pl（0，4），P2（3，4）时，N1（0，0），N2（3，0）. 综上所述，当P1（0，4），P2（3，4），P3（
,－4），P4（
，－4）时，P、N、B、Q构成平行四边形；
当这个平行四边形为矩形时，N1（0，0），N2（3，0）. 考点：二次函数综合题.
2﹣，、10)B(3，、0)C(0，3). 10．（2019·四川中考真题）如图，抛物线y?ax?bx?c的图象过点A(
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S?PAM＝S?PAC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
，2)，周长为：10?32；，4) 【答案】（1）y?-x?2x?3；（2）存在，点P(1（3）存在，点M坐标为(1【解析】
2【分析】
ax?1）（﹣）x3，把点C代入即求（1）由于条件给出抛物线与x轴的交点A，故可设交点式y＝（（﹣10，）、（B3，0）得a的值，减小计算量．
（2）由于点A、B关于对称轴：直线x＝1对称，故有PA＝PB，则C?PAC＝AC?PC?PA＝AC?PC?PB，所以当C、P、B在同一直线上时，C?PAC＝AC?CB最小．利用点A、B、C的坐标求AC、CB的长，求直线BC解析式，把x＝1代入即求得点P纵坐标．
（3）由S?PAM＝S?PAC可得，当两三角形以PA为底时，高相等，即点C和点M到直线PA距离相等．又因为M在x轴上方，故有CM//PA．由点A、P坐标求直线AP解析式，即得到直线CM解析式．把直线CM解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点M坐标． 【详解】
解：（1）∵抛物线与x轴交于点A （﹣10，）、（B3，0）ax?1）（﹣）x3 ∴可设交点式y＝（（0，3）把点C代入得：﹣3a＝3
?a＝﹣1
?y＝-（x?1）（﹣）＝﹣x3x2?2x?3
∴抛物线解析式为y＝-x?2x?3
（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得?PAC的周长最小． 如图1，连接PB、BC
∵点P在抛物线对称轴直线x＝1上，点A、B关于对称轴对称
2?PA＝PB
?C?PAC＝AC?PC?PA＝AC?PC?PB
∵当C、P、B在同一直线上时，PC?PB＝CB最小 QA（﹣10，）、（B3，0）、（C0，3）?AC?12?32?10,BC?32?32?32
?C?PAC＝AC?CB?10?32最小
设直线BC解析式为y＝kx?3
把点B代入得：3k?3＝0，解得：k＝﹣1 ∴直线BC：y＝﹣x?3
?yP＝﹣1?3＝2
∴点P使?PAC的周长最小，最小值为10?32． （1，2）（3）存在满足条件的点M，使得S?PAM＝S?PAC． ∵S?PAM＝S?PACS△PAM＝S△PAC ∴当以PA为底时，两三角形等高 ∴点C和点M到直线PA距离相等 ∵M在x轴上方
?CM//PA
，设直线AP解析式为y＝px?d QA（﹣10，），（，P12）??p?d?0?p?1?? 解得：?
p?d?2d?1??∴直线AP：y＝x?1
∴直线CM解析式为：y＝x?3
?y?x?3Q? 2?y??x?2x?3?x1?0?x2?1解得：?（即点C），?
y?3y?4?1?2∴点M坐标为 （，14）
【点睛】
考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，轴对称的最短路径问题，勾股定理，平行线间距离处处相等，一元二次方程的解法．其中第（3）题条件给出点M在x轴上方，无需分类讨论，解法较常规而简单． 11．（2019·湖南中考真题）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A(1,4)，与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为(?1,0)．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴
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