于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；
（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使?PNC的面积是矩形MNHG面积的若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．
9？16
【答案】（1）y??x2?2x?3 （2）最大值为10 （3）故点P坐标为：(,【解析】 【分析】
（1）二次函数表达式为：y?a?x?1??4，将点B的坐标代入上式，即可求解；
（2）矩形MNHG的周长C?2MN?2GM?2?2x?2??2?x?2x?3??2x?8x?2，即可求解；
2223153?32?3?623?32?3?62)或(,)或(,)． 242424??（3）S?PNC?【详解】
27119??PK?CD??PH?sin45??32，解得：PH??HG，即可求解． 8224（1）二次函数表达式为：y?a?x?1??4，
将点B的坐标代入上式得：0?4a?4，解得：a??1， 故函数表达式为：y??x?2x?3…①；
（2）设点M的坐标为x,?x?2x?3，则点N2?x,?x?2x?3， 则MN?x?2?x?2x?2，GM??x2?2x?3，
矩形MNHG的周长C?2MN?2GM?2?2x?2??2?x?2x?3??2x?8x?2，
2222?2??2???∵?2?0，故当x??b?2，C有最大值，最大值为10， 2a此时x?2，点N?0,3?与点D重合； （3）?PNC的面积是矩形MNHG面积的则S?PNC9， 169927??MN?GM??2?3?， 16168连接DC，在CD得上下方等距离处作CD的平行线m、n，
过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G，即PH?GH， 过点P作PK?CD于点K，
将C?3,0?、D?0,3?坐标代入一次函数表达式并解得： 直线CD的表达式为：y??x?3，
OC?OD，∴?OCD??ODC?45???PHK，CD?32，
设点Px,?x?2x?3，则点H?x,?x?3?，
2??2711??PK?CD??PH?sin45??32， 8229解得：PH??HG，
492则PH??x?2x?3?x?3?，
43解得：x?，
2S?PNC?故点P??315?,?， 24??直线n的表达式为：y??x?3?93??x?…②， 44联立①②并解得：x?3?32， 2?3?32?3?62??3?32?3?62?,,即点P'、P''的坐标分别为?????、???； 2424????故点P坐标为：?【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
12．（2018·四川中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=
?315??3?32?3?62??3?32?3?62?,?或?,,或???????． 2424?24?????1x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1． 4（1）求抛物线的解析式；
（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=
1228x﹣x+1．（2）点P的坐标为（，﹣1）．（3）定点F的坐标为（2，
1341）．
【解析】
分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待
定系数法即可求出抛物线的解析式；
B的坐标，（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； （3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1-
11-22y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．
详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），
设抛物线的解析式为y=a（x-2）2． ∵该抛物线经过点（4，1）， ∴1=4a，解得：a=
1， 411（x-2）2=x2-x+1． 44∴抛物线的解析式为y=
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：
1?y＝x?x1＝1??x2＝4??4，解得：?， ?1，?1y＝1y＝?21?y＝x2?x?1?4??4?∴点A的坐标为（1，
1），点B的坐标为（4，1）． 4作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值（如图1所示）．
∵点B（4，1），直线l为y=-1， ∴点B′的坐标为（4，-3）．
设直线AB′的解析式为y=kx+b（k≠0）， 将A（1，
1）、B′（4，-3）代入y=kx+b，得： 413?1k＝?????k?b＝12，解得：， 4??4?b＝??4k?b＝?3??3∴直线AB′的解析式为y=-当y=-1时，有-解得：x=
28， 1328，-1）． 13134x+， 123134x+=-1， 123∴点P的坐标为（
（3）∵点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等， ∴（m-x0）2+（n-y0）2=（n+1）2， ∴m2-2x0m+x02-2y0n+y02=2n+1． ∵M（m，n）为抛物线上一动点， ∴n=
12
m-m+1， 4121m-m+1）+y02=2（m2-m+1）+1， 44∴m2-2x0m+x02-2y0（
整理得：（1-
11-y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0． 22∵m为任意值，
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