1.2.4 解决有关三角形计算的问题
项目 课题 一、知识与技能 1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题 内容 1.2.4 解决有关三角形计算的问题 修改与创新 2.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用． 二、过程与方法 1.本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型教学 目标 学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解．只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点． 三、情感态度与价值观 1.让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力； 2．进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验成功的愉悦. 教学教学重点 推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目重、 教学难点 利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题难点 教学 多媒体课件 准备 导入新课 教学过 [设置情境程 师 以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另 一个表达公式．在△ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为hA、hB、hC， 那么它们如何用已知边和角表示？ 2.本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让生hA=bsinC=csinBhB=csinA=asinChC=asinB=BsinA 1ah,应用以上求出的高的公式21如hA=bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式：S?absinC，2师 根据以前学过的三角形面积公式S?大家能推出其他的几个公式吗？ 生 同理，可得S?11bcsinA,S?acsinB22 师 除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？ 生 如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解推进新课 【例1】 在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1 cm2） （1）已知A=14.8 cm,C =23.5 cm,B（2）已知B=62.7°,C =65.8°,B =3.16 c（3）已知三边的长分别为A=41.4 cm,B=27.3 cm,C =38.7 c师 这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么，求出需要的元素，就可以求出三角形的面积． 〔生口答，师书写过程〕 解S=：（1）应用S?1acsinB2，得 12×14.8×23.5×sin148.5°≈90.9(cm 2bcbsinC?,c?(2)根据正弦定理， sinBsinCsinB11sinCsinAS?bcsinA?b2 22sinBA = 180°-(B + C)= 180°-(62.7°+ 65.8°)=51.5°, 1sin65.8?sin51.5?2S??3.162?≈4.0(cm). 2sin62.7?(3)根据余弦定理的推论， c2?a2?b238.72?41.42?27.32?得cosB?2ca2?38.7?41.4 sinB?1?cos2B?1?0.76972应用S? 11acsinB得S=×41.4×38.7×0.638 4≈511.4(cm222生 正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向，并进一步推出新的三角形面积公式． 【例2】在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68 m,88 m,127 m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1 cm）？ 师 你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？ 生 本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解． 〔由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结〕 解：设A=68 m,B=88 m,C=127m,根据余弦定理的推论， 2c2?a2?b21272?682?882cosB??2ca2?127?68 sinB?1?0.75322应用S= 11 acsinB,S=×68×127×0.657 8≈2 840.38(m2222答：这个区域的面积是2 840.38 m． 【例3】在△ABC中，求证： a2?b2sin2A?sin2B?（1）2csin2C222 （2）a+b+c=2（bccosA+cacosB+abcosC） [合作探究 师 这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边有什么样的特点生 等式左边是三边的平方关系，而等式的右边是三个角的正弦的平方关系，可以联想到用正弦定理来证明 师 等式两边分别是边和角，所以我们可以选正弦定理来证明，这样我们可以把一边的边或角都转化成两边一样的边或角，即“化边为角”或“化角为边”，这也是我们在证明三角恒等式时经常用的方法． 证明：（1）根据正弦定理，可设 abc???ksinAsinBsinC显然 k≠0，所以 a2?b2k2sin2A?k2sin2Bsin2A?sin2B??左边==右边2222cksinCsinC师 那对于第二小题又该怎么化呢？ 生 等式左边仍然是三边的平方关系，而等式的右边既有角又有边，而且是两边和两边夹角的余弦的积的关系，所以联想到用余弦定理来证明师 很好，哪位来板演一下？ 生 证明：（2）根据余弦定理的推论， b2?c2?a2c2?a2?b2a2?b2?c2?ca?ab)右边=2(bc2bc2ca2ab=(b+c- a)+(c+a-b)+(a+b-c)=a+b+c=左边222222222222 1.已知在△ABC中，∠B=30°,B=6,C=63,求A及△ABC的面积提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数．同时解有关三角形的题目还要注意讨论最终解是否符合规律，防止丢解或增解，养成检验的习惯,但应用余弦定理会免去讨论答案：A=6,S=93;A=12,S=183 2.判断满足下列条件的三角形形状， (1)acosA = bcosB(2)sinC = sinA?sinBcosA?cosB提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”，正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式
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