卫星，开始在离地心r0?4R（R为地球半径）陨落到地面所需的时间。
解：根据题意，假设在离地心r0?4R处质点的速度为v1，地面上的速度为
v2v2。提供卫星运动的力为万有引力：mr?G0Mmr2，所以
v2v1?r0R?2
在这个过程中阻力的作用时间可通过动量定理求出：
fdt??kvdt?mdv
通过分离变量取积分，可 得：t?
3-11. 一链条放置在光滑桌面上，用手揿住一端，另一端有四分之一长度由桌边下垂，设链条长为L，质量为m，试问将链条全部拉上桌面要做多少功？
解：直接考虑垂下的链条的质心位置变化，来求做功，则：
W??EP?111mg?l?mgl 4832?dt??v2v1?vmmmdv?ln2?ln2 kvkv1k
3-12. 起重机用钢丝绳吊运质量为m的物体时以速率v0匀速下降，当起重机突然刹车时，因物体仍有惯性运动使钢丝绳有微小伸长。设钢丝绳劲度系数为k，求它伸长多少?所受拉力多大?(不计钢丝绳本身质量)
解：当起重机忽然刹车时，物体的动能将转换为钢丝绳的弹性势能：由
mk12mv02?12kx，可得：
2x?v0
分析物体的受力，可得到绳子的拉力为： T?mg?kx?mg?mkv0
3-13. 在光滑水平面上，平放一轻弹簧，弹簧一端固定，另一端连一物体A、
A边上再放一物体B，它们质量分别为mA和mB，弹簧劲度系数为k，原长为
l．用力推B，使弹簧压缩x0，然后释放。求：
（1）当A与B开始分离时，它们的位置和速度； （2）分离之后．A还能往前移动多远?
解：（1）当A和B开始分离时，两者具有相同的速度，根据能量守恒，可得到：
12(mA?mB)v2?12kx0，所以：v?2kmA?mBx0;x?l
（2）分离之后，A的动能又将逐渐的转化为弹性势能，所以：
12mAv2?12kx ，则： xA?2mAmA?mBx0
3-14. 已知地球对一个质量为m的质点的引力为F??地球的质量和半径)。
（1）若选取无穷远处势能为零，计算地面处的势能；
Gmemr3r（me,Re为
（2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能．比较两种情况下的势能差．
解：（1）取无穷远处势能为零，计算地面处的势能为：
?EP??Re??f?dr?rb??Gmemrarb11 dr??Gmem2rRe（2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能为：
ReE??????f?dr???Gmemra11 dr?Gmmer2Re两种情况下势能差是完全一样的。
3-15. 试证明在离地球表面高度为h?h??Re?处，质量为m的质点所具有的引力势能近似可表示为mgh.
解：由万有引力的势能函数值，在离地球表面高度为h?h??Re?处，质量为m的质点所具有的引力势能为：
?G0Mm(Re?h)??G0Mm(Re?h)2(Re?h)??G0MmRe2(Re?h)??mg(Re?h)
如果以地面作为零电势处，则质点所具有的引力势能近似可表示为mgh.
思考题3
3-1. 求证：一对内力做功与参考系的选择无关。
证明：对于系统里的两个质点而言，一对内力做功可表示为：
????A=f1?dr1?f2?dr2
由于外力的存在，质点1.2的运动情况是不同的。
??dr1?dr2,f1??f2
???????上式可写为：A=f1?dr1?f2?dr2?f?(dr1?dr2)
也就是内力的功与两个质点的相对位移有关，与参考系的选择无关。
3-2. 叙述质点和质点组动能变化定理，写出它们的表达式，指出定理的成立条件。
?质点的动能变化定理：物体受外力F作用下，从A运动B，其运动状态变化，
速度为V1变化到V2，即动能变化。合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
A1?2??21?11?22f?dr?mv2?mv1?EK2?EK1
22质点系的动能定理： 质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内保守力的功和质点系内非保守力的功三者之和。即质点系总动能的增量等于外力和内力做功之和。
公式表达：A外?A内非?A内保?EK2?EK1
3-3. A和B两物体放在水平面上，它们受到的水平恒力F一样，位移s也一
样，但一个接触面光滑，另一个粗糙．F力做的功是否一样?两物体动能增量是否一样?
??答：根据功的定义：W=F??r
所以当它们受到的水平恒力F一样，位移s也一样时，两个功是相等的； 当时由于光滑的接触面摩擦力不做功，粗糙的接触面摩擦力做功，所以两个物体的总功不同，动能的增量就不相同。
3-4. 按质点动能定理，下列式子：
x2???x1y2y1z2Fxdx?Fydy?Fzdz?121212mvmvmv2x2???121212mvmvmv2x1
2y22y1z12z22z1是否成立?这三式是否是质点动能定理的三个分量式?试作分析。 答：不成立，因为功是标量，不分方向，没有必要这么写。
3-5. 在劲度系数为k的弹簧下，如将质量为m的物体挂上慢慢放下，弹簧伸长多少?如瞬间挂上让其自由下落弹簧又伸长多少?
答：如将质量为m的物体挂上慢慢放下，弹簧伸长为mg=kx，所以x?
mgk
如瞬间挂上让其自由下落，弹簧伸长应满足能量守恒：mgx?x?2mgk12kx，所以
2
3-6. 试根据力场的力矢量分布图判断哪些力场一定是非保守的?
图[d]、[f]为非保守力，因为如果对其取环路积分必定不为零。
相关推荐：
loading