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§．几种速度的特殊求法
．．、相关的速度
当绳端在做既不沿绳方向，又不垂直于绳方向的运动时，一般要将绳端的运动分解为沿绳方向和垂直于绳方向二个分运动。
v v//?vB v? m 图
如图所示的情况，绳拉着物体在水平面上运动，端以速度做匀速运动，问做什么运动？有的同学会将绳的速度分解成竖直 分速度和水平分速度，以为木块的速度
u?vcosa(<)．这是错误的。因为实际上木块并没有
vB2 vB vB1 ? vA1 vA2 vA
一个向上的分速度。应该将绳端实际上的水平速度
图
vB分解成沿绳方向的分速∥vBcosa和垂直于绳的分速⊥vBsina，∥使绳子缩短，所以∥，⊥使绳子围绕滑轮转动。因此vB?v/cosa(vB?v)，而且vB随着的增大而越来越大。
如图所示，杆沿滑下，、二端的速度vA和vB也是二个相关的速度。将vA分解成沿杆方向的分速vA1和垂直于杆的分速vB2。由于杆的长度不会发生变化，所以vA1?vB1，即vAcosa?vBsina，即
M? vA?tga?vB
?
l ? 图（）
．．、两杆交点的运动
两杆的交点同时
参与了二杆的运动，而且相对每一根杆还有自己的运动，因而是一种比较复杂的运动。
图（）中的、两杆均以角速度?绕、两固定轴在同一
w ? w ? l 图（）
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竖直面内转动，转动方向如图示。当
时，a???o，试求时刻两棒交点点的速度和加速度。时，△为等边三角形，
3l因此l，它的外接圆半径3，图（）。二杆旋转过程中，a角增大的角度一直
等于?角减小的角度，所以角的大小始终不变（等于o），因此点既不能偏向圆内也不能偏向圆外，只能沿着圆周移动，因为∠MOM?和∠MAM?是对着同一段圆弧（MM?）的圆心角和圆周角，所以∠MOM?∠MAM?，即以?的角速度绕点做匀速圆周运动，任意时刻的速度大小恒为
v?R(2?)?23?l3
向心加速度的大小恒为
a?(2?)2R?432?l3
v1 l1
再看图（），一平面内有二根细杆l1和l2，各
? v2
图（）
??vv自以垂直于自己的速度1和2在该平面内运动，试求交点相对于纸平面的速率及交点相对于每根杆的速率。
l2
参考图（），经过时间?t之后，l1移动到了l1?的位置，l2移动到了l2?的位置，l1?和l2的原位置交于O?点，l1?和l2?交于O??点。
OO?v1?t/sin?
O?O???v2?t/sin?
在?OO?O??中：
OO???OO??O?O???2OO??O?O??cos?222O?? O? ?
l1?
l1
? l2l2
图（）
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因为?角和?角互补，所以
cos???cos?
2OO???v12?v2?2v1v2cos??tsin?
因此两杆交点相对于纸平面的速度
v0?OO???t
1sin?
2?v12?v2?2v1v2cos?不难看出，经过?t时间后，原交点在l1上的位置移动到了位置，因此交点相对l1的位移就是AO??，交点相对l1的速度就是：
v1??(AO??O?O??)/?t
v?t???v1?t?ctg??2?/?tsin???
?(v1cos??v2)/sin?
用同样的方法可以求出交点相对l2的速度
v??(v1?v2cos?)/sin? 2因为?t可以取得无限小，因此上述讨论与v1,v2是否为常量无关。如果v1,v2是变量，上述表达式仍然可以表达二杆交点某一时刻的瞬时速度。
如果v1和v2的方向不是与杆垂直，这个问题应该如何解决？读者可以进行进一步的讨论。
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