2019人教版精品教学资料·高中选修数学
选修2-2课本例题习题改编
1.原题（选修2-2第十一页习题1.1B组第一题）改编 在高台跳水中，t s时运动员相对水面的高度(单位：m）是h(t)??4.9t?6.5t?10则t=2 s时的速度是_______. 解：h?(t)??9.8t?6.5由导数的概念知：t=2 s
时的速度为
2h?(2)??9.8?2?6.5??13.1(m/s)
2.原题（选修
2-2
第十九页习题
1.2B
组第一题）改编记
1331A?cos,B?cos,c?sin?sin，则A,B,C的大小关系是（ ）
2222A．A?B?C B．A?C?B
C． B?A?C
D. C?B?A
解：cos，cos分别表示sinx在x?1232131133记M（，，时的导数值，sin）,N(，sin)
222222根据导数的几何意义A表示sinx在点M处的切线的斜率，B表示sinx在点N处的切线的斜率，C表示直线MN的斜率， 根据正弦的图像可知A>C>B故选B
f(x) = sin(x)32.521.51NM123450.5543210.511.522.53 /3.原题（选修2-2第二十九页练习第一题）改编 如图是导函数y?f(x)的图象，那么函数
y?f(x)在下面哪个区间是减函数
A. (x1,x3) B. (x2,x4) C.(x4,x6) D.(x5,x6) 解：函数的单调递减区间就是其导函数小于零的区间，故选B
4.原题（选修2-2第三十二页习题1.3B组第1题（4））改编 设0?x?sinxa?lnsinx,b?sinxc,?e 试比较a,b,c的大小关系为（ ）
?2，记
A a?b?c B b?a?c C c?b?a D b?c?a
x解：先证明不等式lnx?x?e x>0
设f(x)?lnx?x,x?0
1?1,1f(x)单调递增，x 因为所以，当0?x?1时，f?(x)??1?0,x1f(x)?lnx?x?f(1)??1?0；当x?1时f?(x)??1?0,f(x)单调递减，
xf?(x)?f(x)?lnx?x?xf(1?)?；当?1x=1时，显然ln1?1，因此lnx?x
设g(x)?x?e,x?0
g?(x)?1?ex 当x?0时g?(x)?0 ?g(x)在(0,+?）单调递减 ?g(x)?g(0)?0
即x?e
x综上：有lnx?x?e，x>0成立
x0?x??2 ?0?sinx?1 ? lnsinx?sinx?esinx 故选A
5.原题（选修2-2第三十七页习题1.4A组第1题）改编 用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是_________.
18?12x3??解：设长方体的宽为xm，则长为2xm，高h??4.5?3x(m)?0＜x＜?.
42??故长方体的体积为V(x)?2x2(4.5?3x)?9x2?6x3(m3)(0＜x＜). 从而V?(x)?18x?18x?18x(1?x).
令V?(X)?0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1. 当0＜x＜1时，V?(X)＞0；当1＜x＜
2323时，V?(X)＜0， 2故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值.
3
从而最大体积V＝3（m），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
3
答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m. 6.原题（选修2-2第四十五页练习第二题）改编 一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设
汽车在时刻t的速度为v(t)=-t+4,（0?t?3t）（t的单位：h, v的单位：km/h）则这辆车行驶的最大位移是______km
2
解：当汽车行驶位移最大时，v(t)=0.又v(t)=-t+4=0且0?t?3,则t=2
2
2116162，故填 ?smax??(?t2?4)dt?（-t3?4t）?003337.原题（选修2-2第五十页习题1.5A组第四题）改编 （e-1?1x?1?x2）dx?________
解：（e-1?1x?1?x2）dx?2?（ex?1?x2）dx?2(ex02
2
110??1?x2dx)，而
011?101?xdx表示单位圆x+y=1在第一象限内的部分面积,??1?x2dx?02?4
（e??-11x?1?x2）dx?2(e-1-
???)=2e?2? 故填2e?2?. 4221围成的28.原题（选修2-2第五十三页例2）改编 曲线y?sinx（0?x??)与直线y=封闭图形的面积为（ ）A．3 B.2-3 C.2-解：由sinx?y=
?? D.3-
331?5?与，所以曲线y?sinx（0?x??)与直线（0?x??)得x?或2661围成的封闭图形的面积25?6s???615??sinxdx??(?)??cosx266?5?66??3=?cos5?????(?cos)??3? 6633故选D
22y??x?2x所围成图y?1?1?x9.原题（选修2-2第五十六页例1）改编 由曲线，
形的面积为____________ 解：联立∴s?1?y?1?1?x2y??x2?2x 得焦点坐标（0,0），（1,1）
1?10(?x2?2x)dx??(1?1?x2)dx
0132221(?x?2x)dx?(?x?x)?0?033
1?(1?011?x)dx?x??1?xdx?1??1?x2dx
0022x?y?1在第一象限内的部分 1?xdx表示单位圆
21012而
??120∴
10?2??1?1
?s??1???23443 故填43 1?xdx=4 ∴
f(x) = 1 1 x?xg(x) = x?x + 2?x1.41.210.8g(x)0.60.4f(x)0.221.510.50.20.511.522.50.40.60.811.21.4
10.原题（选修2-2第七十八页练习3）改编 设P是?ABC内一点，?ABC三边上的高分
lalbl??c?______________；hAhBhC类比到空间，设P是四面体ABCD内一点，四顶点到对面的距离分别是hA、hB、hC、hD，
别为hA、hB、hC，P到三边的距离依次为la、lb、lc，则有
P到这四个面的距离依次是la、lb、lc、ld，则有_________________。 解：用等面积法可得，
laSlSlS??PBC,同理b??PAC,c??PAB 所以 hAS?ABChBS?ABChCS?ABCSSSlalblllll??c??PBC??PAC??PAB?1，类比到空间有a?b?c?d?1
hAhBhChDhAhBhCS?ABCS?ABCS?ABCAhAPlaCB
11.原题（选修2-2第八十二页阅读与思考）改编 如图，点P为斜三棱柱ABC?A1B1C1的
侧棱BB1上一点，PM?BB1交AA1于点M，PN?BB1交CC1于点N. (1) 求证：CC1?MN； (2) 在任意?DEF中有余弦定理：
DE2?DF2?EF2?2DF?EFcos?DFE.
拓展到空间，类比三角形的余弦定理， 写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中
两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明. 解：(1) 证明：
?CC1//BB1?CC1?PM,CC1?PN,?CC1?平面PMN?CC1?MN；
(2) 在斜三棱柱ABC?A1B1C1中，有SABB1A1?SBCC1B1?SACC1A1?2SBCC1B1?SACC1A1cos?，其中?为平面CC1B1B与平面CC1A1A所成的二面角.
?CC1?平面PMN,?上述的二面角为?MNP,在?PMN中，
222PM2?PN2?MN2?2PN?MNcos?MNP? PM2CC12?PN2CC12?MN2CC12?2(PN?CC1)?(MN?CC1)cos?MNP，
由于SBCC1B?PN?CC1,SACC1A?MN?CC1,SABB1A?PM?BB1
111∴有SABB1A1?SBCC1B1?SACC1A1?2SBCCB?SACCAcos?.
111112.原题（选修2-2第九十六页习题2.3A组第一题）改编 在数列{an}中，
222a1?13an,an?1?，则数列{an}的通项公式为____________ 2an?3解：本题有多种求法，“归纳——猜想——证明”是其中之一
331333 ?,a2?,a3?,a4?,猜想an?n?52678931下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，a1??，猜想成立
1?52a1?ak?1（2）假设当n=k时猜想成立，则
33ak3k?5???3ak?3(k?1)?5?3k?5
3?an?3n?5
当n=k+1时猜想也成立，综合（1）（2），对n?N猜想都成立.故应填
?13.原题（选修2-2第页习题一百一十二页习题3.2A组第4题（4））改编 复数
132012（?i）的共轭复数是22( )
13131313?i??i?i?i22222222A. B. C. D.
?13213331（?i）??i??i?242422 解：2133133131?（?i）?（?i）?(i?)?????122222244
1320121336701323113670?（?i）?（(?i）)?（?i）?（-1）（i?）???i2222222222
13?i22其共轭复数为，故选B
?
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