2-1 平面向量的实际背景及基本概念

能 力 提 升

一、选择题

1．下列命题中正确的是( )

A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B．模相等的两个平行向量是相等向量 C．若a和b都是单位向量，则a＝b D．两个相等向量的模相等 [答案] D

2．下列说法中，不正确的是( ) →→

A．向量AB的长度与向量BA的长度相等 B．任何一个非零向量都可以平行移动

C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量 D．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同 [答案] D

[解析] 很明显选项A，B，C正确，共线向量只与方向有关，方向相同或相反的向量都是共线向量，所以选项D不正确．

3．已知非零向量a、b满足a∥b，则下列说法错误的是( ) A．a＝b

C．所在直线平行或重合 [答案] A

→

4．数轴上点A、B分别对应－1、2，则向量AB的长度是( ) A．－1 C．1 [答案] D

B．2 D．3

B．它们方向相同或相反 D．都与零向量共线

5．(2011～2012·临沂高一检测)以下说法错误的是( ) A．零向量与任一非零向量平行 B．零向量与单位向量的模不相等 C．平行向量方向相同 D．平行向量一定是共线向量 [答案] C

6．下列说法正确的是( )

A．若|a|＝|b|，则a、b的长度相等且方向相同或相反

→→→→→→→→B．若向量AB、CD满足|AB|>|CD|，且AB与CD同向，则AB>CD C．若a≠b，则a与b可能是共线向量

→→

D．若非零向量AB与CD平行，则A、B、C、D四点共线 [答案] C 二、填空题

→→→→→→

7．如图ABCD是菱形，则在向量AB、BC、CD、DA、DC和AD中，相等的有________对．

[答案] 2

→→→→

[解析] AB＝DC，BC＝AD.其余不等．

8．(海南三亚调研)把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向

量的起点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于____________．

[答案] 3π

[解析] 这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22

－π·12＝3π.

→

9．(江苏泰州高一期末)设O是正方形ABCD的中心，则①AO＝→→→→→→→

OC；②AO∥AC；③AB与CD共线；④AO＝BO.其中，所有正确表示的序号为____________．

[答案] ①②③

[解析] 根据正方形的特征，结合相等向量，平行向量作出判断，→→

只有④是错误的，AO与BO只是模相等，由于方向不相同，所以不是相等向量．

三、解答题

10．在如图所示的方格纸上(每个小方格边长均为1)，已知向量a.

(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a；

(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么．

[分析] 用有向线段表示向量，注意起点、方向、长度． [解析] (1)根据相等向量的定义，所作向量应与a平行，且长度相等，如图所示．

→

(2)满足条件的向量c可以是图中的CD.所有这样的向量c的终点的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆，如图．

11．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行10002km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？