大学概率论习题五详解(1) 

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概率论习题五详解

1、设X为离散型的随机变量，且期望EX、方差DX均存在，证明对任意??0,都有

P?X?EX????DX?2

证明 设P?X?xi??pi i?1,2,...则

P?X?EX??????ixi?EX??X?x????P??ixi?EX??xi?EX?2p

?2i?xi?EX?2p=DX

?2i?22、设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为，请利用切比雪夫不等式证明：

P?X?Y?6??证 E?X?Y??0

1。 12cov?X,Y???DXDY?1

D?X?Y??DX?DY?2cov?X,Y??5?2?3

D?X?Y?1 P?X?Y?6??P??X?Y??E?X?Y??6???62123、一枚均匀硬币要抛多少次才能使正面出现的频率与之间的偏差不小于的概率不超过 解设Xn为 n 次抛硬币中正面出现次数，按题目要求，由切比雪夫不等式可得

?Xn?0.5?0.5P??0.5?0.04??n??n?0.042?0.01 ??0.25从而有 n??15625

0.01?0.042即至少连抛15625次硬币，才能保证正面出现频率与的偏差不小于的概率不超过。 4、每名学生的数学考试成绩X是随机变量，已知EX?80，DX?25，（1）试用切比雪夫不等式估计该生成绩在70分到90分之间的概率范围；（2）多名学生参加数学考试，要使他们的平均分数在75分到85分之间的概率不低于90%，至少要有多少学生参加考试

解 (1)由切比雪夫不等式 PX?EX???1?又 P?70??DX?2 ???0?

?X?90??P?70?EX?X?EX?90?EX??P??10?X?EX?10?

25?0.75 =P?X?80?10??1?100 11

v1.0 可编辑可修改 即该生的数学考试成绩在70分到90分之间的概率不低于75%

(2)设有n个学生参加考试(独立进行)，记第i个学生的成绩为Xi ?i?i,2...n?，则平均成

1251n1n绩为X??Xi，又EX??EXi?80, DX?DX?

ni?1ni?1nn1?25n?1n则由切比雪夫不等式可得：P?75?X?85??PX?80?5?1? ?52nn?1要使上述要求不低于90%，只需?0.9，解得n?10，即有10个以上的学生参加考试，就

n??可以达到要求。

5、设800台设备独立的工作，它们在同时发生故障的次数X~B?800,0.01?，现由2名维修工看管，求发生故障不能及时维修的概率。

解 P?X?2??1?P?X?2??1?2?i?0iC8000.01i0.99800?i

在二项分布表（附表1）中不能查出。np?8，使用正态分布近似计算： 若使用正态分布近似计算：X ~N?8,7.92?,

近似?X?8?P?X?2??1?P?X?2??1?P???2.132??7.92?

???2.132??0.98346、对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长来、有1名家长来、有2名家长来参加会议的概率分别为、、。若学校共有400名学生，设每个学生参加会议的家长数相互独立且服从同一分布，求：(1)参加会议的家长数X超过450的概率；(2)每个学生有一名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。

解 (1)以Xi ?i?1,2...400?表示第i个学生来参加会议的家长数，则Xi的分布律为:

Xi pi 400i?10 1 2 所以EXi?1.1，DXi?0.19，i?1,2...400 而X??Xi

近似由中心极限定理知：X~N?440,76?

P?X?450??1???1.147??0.1257

(2)以Y表示每个学生有一名家长来参加会议的个数，则Y~B?400,0.8? 由中心极限定理知：Y~N?320,64? 则P?Y?340????2.5??0.9938

近似 22

v1.0 可编辑可修改 7、射手打靶得10分的概率为，得9分的概率为，得8分、7分和6分的概率分别0 .1、和，若此射手进行100次射击，至少可得950分的概率是多少

解 设Xi为射手第i次射击的得分，则有

Xi 10 pi 且X?9 8 7 6 ?Xi?1100i2 ， EXi?9.15，EX?84.95，DX?1.2275

由中心极限定理得：

?100??950?915?P??Xi?950??1?????1???3.159??0.0008

?100?1.2275??i?1?8、某产品的不合格率为，任取10000件中不合格品不多于70件的概率为多少

解 依题意，10000件产品中不合格品数X~B?10000,0.005?，由np?50，n?1?p??5，故可用二项分布的正态近似，所求概率为

??70?50?????2.8355??0.9977 P?X?70??????50?1?0.005??9、某厂生产的螺丝钉的不合格品率为，问一盒中应装多少只螺丝钉才能使盒中含有100只合格品的概率不小于

解 设 n 为一盒装有的螺钉数，其中合格品数记为X，则有X~B?n,0.99?，该题要求n，使得下述概率不等式成立。

P?X?100??0.95或P?X?100??0.05

利用二项分布的正态近似，可得：???100?0.99n???0.05????1.645?

0.0099n??因此，100?0.99n??1.6450.0099n 解得，n?103.19

这意味着，每盒应装104只螺钉，才能使每盒含有100只合格品的概率不小于。

（B）

1、为确定一批产品的次品率要从中抽取多少个产品进行检查，使其次品出现的频率与实际次品率相差小于的概率不小于。

解：依题意，可建立如下概率不等式 PP??P?0.1?0.95

其中P是这实际的次品率，如抽取n个产品则次品的频率P??定理，P?近似服从正态分布：

??x1?x2?...xn，由中心极限

n 33

v1.0 可编辑可修改 N?P,P?1?P?/n?或P??P~N?0,P?1?P?/n?

?0.1n?1?0.95?从而有 ???0.975

?P?1?P???2??查表可得 ：

0.1n?1.96 或n?19.6P?1?P?

P?1?P?由于P未知，只得放大抽检量，用1/2代替 P?1?P? ，可得：n?9.8

n?96，可见，需抽查96个产品才能使其次品率与实际次品率相差小于的概率不小于。

2、 假设批量生产的某产品的优质品率为60%，求在随机抽取的200件产品中有120到150件优质品的概率?．

解 记?n——随机抽取的200件产品中优质品的的件数，则?n服从二项分布，参数为n=200，

p=；np?120，np(1?p)?48．由于n=200充分大，故根据棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理，近

似地

Un??n?npnp(1?p)???n?12048~N(0, 1)；???P?120??n?150??P?0?150?120??

4848?? ?P?0?Un?4.33???(4.33)??(0)?0.5 ．?n?1203、设随机变量X服从参数为?的泊松分布，X1,X2,?,Xn是独立与X同分布随机变量，证明：对任意??0，都有

1n2limP{?Xi?(???2)??}?0 n??nk?122,?,Xn证明 由于X1,X2,?,Xn独立同泊松分布，可见X12,X2也独立同分布，而且数学

期望存在：

EXi2?DXi?(EXi)2????2．

因此，根据辛钦大数定律，有

1n2limP{?Xi?(???2)??}?0． n??nk?1 44