MATLAB非线性规划问题

一．非线性规划课题

实例1 表面积为36平方米的最大长方体体积。 建立数学模型：

设x、y、z分别为长方体的三个棱长，f为长方体体积。

max f = x y (36-2 x y)/2 (x+y) 实例2 投资决策问题

某公司准备用5000万元用于A、B两个项目的投资，设x1、x2分别表示配给项目A、B的投资。预计项目A、B的年收益分别为20%和16%。同时，投资后总的风险损失将随着总投资和单位投资的增加而增加，已知总的风险损失为2x12+x22+(x1+x2)2.问应如何分配资金，才能使期望的收益最大，同时使风险损失为最小。

建立数学模型：

max f=20x1+16x2-λ[2x12+x22+(x1+x2)2] s.t x1+x2≤5000

x 1≥0,x2≥0

目标函数中的λ≥0是权重系数。

由以上实例去掉实际背景，其目标函数与约束条件至少有一处是非线性的，称其为非线性问题。

非线性规划问题可分为无约束问题和有约束问题。实例1为无约束问题，实例2为

有约束问题。

二．无约束非线性规划问题：

求解无约束最优化问题的方法主要有两类：直接搜索法(Search method)和梯度法(Gradient method)，单变量用fminbnd,fminsearch,fminunc;多变量用fminsearch,fminnuc

1．fminunc函数

调用格式： x=fminunc(fun,x0)

x=fminunc(fun,x0,options) x=fminunc(fun,x0,options,P1,P2)

[x,fval]=fminunc(…) [x,fval, exitflag]=fminunc(…) [x,fval, exitflag,output]=fminunc(…) [x,fval, exitflag,output,grad]=fminunc(…) [x,fval, exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(…)

说明：fun为需最小化的目标函数，x0为给定的搜索的初始点。options指定优化参数。 返回的x为最优解向量；fval为x处的目标函数值；exitflag描述函数的输出条件；output返回优化信息；grad返回目标函数在x处的梯度。Hessian返回在x处目标函数的Hessian矩阵信息。

例1 ： 求 minf?8x?4y?x?3y 程序：通过绘图确定一个初始点：

[x,y]=meshgrid(-10:.5:10); z= 8*x-4*y +x.^2+3*y.^2; surf(x,y,z)

22选初始点：x0=(0,0) x0=[0,0];

[x,fval,exitflag]=fminunc(‘8*x(1)-4*x(2) +x(1)^2+3*x(2)^2‘,x0) 结果：x =

-4.0000 0.6667

fval =

-17.3333

exitflag =

1

22minf?4x?5xy?2y例2：

程序：

取初始点：x0=(1,1) x0=[1,1];

[x,fval,exitflag]=fminunc（‘4*x(1)^2+5*x(1)*x(2)+2*x(2)^2‘,x0)

结果： x =

1.0e-007 * -0.1721 0.1896

fval =

2.7239e-016

exitflag =

1

2． minsearch函数

调用格式： x=fminsearch(fun,x0)

x=fminsearch(fun,x0,options) x=fminsearch(fun,x0,options,P1,P2)

[x,fval]=fminsearch(…) [x,fval, exitflag]=fminsearch(…) [x,fval, exitflag,output]=fminsearch(…) [x,fval, exitflag,output,grad]=fminsearch(…) [x,fval, exitflag,output,grad,hessian]=fminsearch(…)

说明：参数及返回变量同上一函数。对求解二次以上的问题，fminsearch函数比fminunc函数有效。 3. fminbnd函数

调用格式： [x,fval]=fminbnd(fun,x1,x2,options)

x=fminbnd(…)

例5 求min e-x+x2,搜索区间为（0，1） [x,fval]=fminbnd('exp(-x)+x.^2',0,1) x = 0.3517 fval = 0.8272

4． 多元非线性最小二乘问题： 非线线性最小二乘问题的数学模型为：

minf(x)?其中L为常数。

调用格式： x=lsqnonlin(fun,x0)

x=lsqnonlin(fun,x0,lb,ub) x=lsqnonlin(fun,x0,options)

x=lsqnonlin(fun,x0,options,P1,P2)

?f?x?ii?1m2?L[x,resnorm]=lsqnonlin(…)

[x,resnorm, residual,exitflag]=lsqnonlin(…) [x,resnorm, residual , exitflag,output]=lsqnonlin(…) [x,resnorm, residual,exitflag, output,lambda]=lsqnonlin(…)

[x,resnorm, r esidual,exitflag, output,lambda,jacobian]=lsqnonlin(…)

说明：x返回解向量；resnorm返回x处残差的平方范数值：sum(fun(x).^2)；residual返回x处的残差值fun(x)；lambda返回包含x处拉格朗日乘子的结构参数；jacobian返回解x处的fun函数的雅可比矩阵。

lsqnonlin默认时选择大型优化算法。Lsqnonlin通过将options.LargeScale设置为’off’来作中型优化算法。其采用一维搜索法。

例4．求 minf=4(x2-x1)2+(x2-4)2 ，选择初始点x0(1,1) 程序：

f ='4*(x(2)-x(1))^2+(x(2)-4)^2' [x,reshorm]=lsqnonlin(f,[1,1]) 结果： x =

3.9896 3.9912

reshorm =5.0037e-009

结果 ： x =

0.2578 0.2578

resnorm =

124.3622

二． 有约束非线性规划问题：

数学模型： min F(x)