导数的定义及几何意义
1．f(x0)?lim/?x?0f(x0??x)?f(x0)叫函数y?f(x)在x?x0处的导数，记作y/|x?x0 。
?x注：①函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在。②在定义导数的极限式中，?x趋近于0可正、可负、但不为0，而?y可能为0。③
?y是函数y?f(x)对自变量x在?x范围?x内的平均变化率，它的几何意义是过曲线y?f(x)上点（x0，f(x0)）及点（x0+?x，
f(x0??x0)）的割线斜率。④导数f/(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0)是函数y?f(x)在
?x点x0的处瞬时变化率，它反映的函数y?f(x)在x0点处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线y?f(x)上点（x0，f(x0)）处的切线的斜率。⑤若极限lim?x?0f(x0??x)?f(x0)不
?x存在，则称函数y?f(x)在点x0处不可导。⑥如果函数y?f(x)在开区间(a,b)内每一点都有导数，则称函数y?f(x)在开区间(a,b)内可导；此时对于每一个x∈(a,b)，都对应着一个确定的导数f(x)，从而构成了一个新的函数f(x)，称这个函数f(x)为函数
///y?f(x)在开区间(a,b)内的导函数，简称导数；导数与导函数都称为导数，这要加以区分：
求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。 [举例1]若f/(x0)?2，则limk?0f(x0?k)?f(x0)等于：
2k (A) -1 (B) -2 (C) 1 (D) 1/2 解析：∵f/(x0)?2，即lim?k?0f[x0?(?k)]?f(x0)f(x0?k)?f(x0)=2?lim=-1。
k?0?k2knn?1[举例2] 已知a?0,n为正整数设y?(x?a)，证明y'?n(x?a)n
解析：本题可以对y?(x?a)展开后“逐项”求导证明；这里用导数的定义证明：
(x??x?a)n?(x?a)ny?lim=
?x?0?x/12n(x?a)n?Cn(x?a)n?1?x?Cn(x?a)n?2(?x)2???Cn(?x)n?(x?a)nlim= ?x?0?x2nn(x?a)n?1?x?Cn(x?a)n?2(?x)2???Cn(?x)nlim= ?x?0?x23nlim[n(x?a)n?1?Cn(x?a)n?2?x?Cn(x?a)n?3(?x)2???Cn(?x)n?1]=n(x?a)n?1。
?x?0[巩固1]一质点作曲线运动，它的位移S与时间t的关系为：S?定义求t =3时的速度。
t?1?2t2 ，试用导数的2t[巩固2]设C是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为C＝C（q），当产量为q0时，产量变化?q对成本的影响可用增量比
?CC(q0??q)?C(q0)刻划. 如果?q无限趋??q?q近于0时，
?C无限趋近于常数A，经济学上称A为边际成本. 它表明当产量为q0时，增?q加单位产量需付出成本A（这是实际付出成本的一个近似值）。设生产x个单位产品的总成
x2本函数是C(x)＝8＋，则生产8个单位产品时，边际成本是： （ ）
8A．2 B．8 C．10 D．16
/2．常用导数公式：c'?0,(xn)'?nxn?1,(ex)/?ex，(lnx)?1； x导数的运算法则：若函数f(x)与g(x)的导数存在，则[f(x)?g(x)]'?f'(x)?g'(x),
[cf(x)]'?c?f'(x)，[f(x)g(x)]/?f/(x)g(x)?f(x)g/(x)； f(x)/f/(x)g(x)?f(x)g/(x)（这个公式很容易记错，注意和“积的导数”对比）； ()?2g(x)g(x)复合函数的导数：由y?f(u)与u=?(x)得到复合函数y?f32//??(x)?，则yx'=yu'.ux'。
//[举例1]已知f(x)?x?xf(1)?x，则f(2)= 。
解析：f(1)是常数，∴f(x)?3x?2xf(1)?1?f(1)=3+2f(1)-1?f(1)= -2 ∴f(x)?3x?4x?1，故f(2)=3。
123n[举例2]n?N?，Cn= 。 ?2Cn?3Cn???nCnkk?1解析：本题可以用“倒序相加”法，也可以用“通项变化”法（kCn= nCn；这里，我?1）012233nnkk们观察(1?x)n?Cn?Cnx?Cnx?Cnx???Cnx ①，不难发现其通项Cnx求
/2///2//导后的系数正是所求“项”；故考虑对①式两边同求导数，得：
1232nn?1n(1?x)n?Cn?2Cnx?3Cnx???nCnx，令x=1得：
n123n=n?2 Cn?2Cn?3Cn???nCn[巩固1] 已知f(x)?x?1?ln2x?2alnx(x?0)．令F(x)?xf?(x)，则F/(x)= 。 [巩固2]已知函数f(x)?(x?1)(2x?1)(3x?1)?(nx?1)，则f/(0)的值为：
2222A．Cn B．Cn C． D．AA?1nn?1
3．函数f(x)在x?x0处的导数f'(x0)的几何意义：曲线C:y?f(x)在其上点P(x0，y0)处的切线的斜率。用导数研究切线问题，切点是关键（切点在切线上、切点在曲线上、切点横坐标的导函数值为切线斜率）。 [举例1]曲线y?eＡ．
1x2在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
292e 2
1x2Ｂ．4e
1Ｃ．2e
2Ｄ．e （07高考海南理10）
2解析：y?e11x?y?e2，则]曲线在点(4，e2)处的切线斜率为：e2，
22/2 ∴切线方程为：y?e?122e(x?4)，它与坐标轴的交点分别为：（2，0），（0，-e）； 22∴切线与坐标轴所围三角形的面积为：e，选D。
[举例2]函数y?f(x)的图象在点P处的切线方程是：y??x?8，若点P的横坐标为5， 则f(5)?f/(5)= 。
解析：本题没有函数表达式，但有切线方程y??x?8，注意到“切点在切线上”，
/∴P（5，3）；又“切点在曲线上”，∴f(5)?3；而曲线y?f(x)在点P处的切线斜率为f(5)，
即f/(5)=-1，故f(5)?f/(5)=2。
[举例3]已知直线x?y?1?0与抛物线y?ax2相切，则a?______.
解析：本题固然可以将直线方程带入抛物线方程中，使得到的一元二次方程的判别式?=0， 从而求出a的值；但这种做法只限于二次曲线，若将抛物线换成其它的非二次曲线，则此路不通。以下用“导数”求解：“切点”是关键，记切点P（x0，y0），y?2ax，则有：
2 （切点在曲线上）② x0?y0?1?0 （切点在切线上）①；y0?ax0/2ax0=1 （切点横坐标的导函数值为切线斜率）③；由①②③解得：a?
1。 4
，f(1))处的切线方程是y?[巩固1]已知函数y?f(x)的图象在点M(1f(1)?f?(1)?＿＿＿＿．（07高考湖北文13）
1x?2，则2[巩固2]点P是曲线y?x?x?围是A、?0,
32上的动点，设点P处切线的倾斜角为?，则?的取值范3???????3???3????3?? B、 C、 D、0,?,?,?????,? ?????2??2??4??4??24?[巩固3]若直线y=x是曲线y=x3-3x2+ax的切线，则a=___________
4、注意区分“求曲线y?f(x)上过点M的切线”与“求曲线y?f(x)上在点M处的切线”； 前者只要求切线过M点，M点未必是切点；而后者则很明确，切点就是M点。
[举例]求函数y=x3-3x2+x的图象上过原点的切线方程
解析：易见O（0，0）在函数y=x3-3x2+x的图象上，y’=3x2－6x+1,但O点未必是切点。 设切点A（x0,y0）∵y’=3x2－6x+1, ∴切线斜率为3x02－6x0+1,又切线过原点，∴
kAO?y0=3x02－6x0+1即：y0=3x03－6x02+x0 ① x03，∴切线方程为：y=x或5x+4y=0 2又∵切点A（x0,y0）y=x3-3x2+x的图象上∴y0=x03－3x02+x0 ② 由①②得：x0 =0或x0 =
点评：一般地,过三次曲线的对称中心（不难证明三次曲线一定是中心对称图形，且对称中心在曲线上）的切线有且仅有一条；而过三次曲线上除对称中心外的任一点的切线有二条。以下给出简单证明（不要求学生掌握）：由于三次曲线都是中心对称曲线，因此，将其对称中心移至坐标原点便可将三次函数的解析式简化为f(x)?ax3?bx。若M（x1，y1）是三次曲线f(x)?ax?bx上的任一点，设过M的切线与曲线y=f（x）相切于（x0，y0），则切线方程为y?y0?f?(x0)(x?x0)，因点M上此切线上，故y1?y0?f?(x0)(x1?x0)，又
3y0?ax0?bx0,y1?ax1?bx1，所以ax1?bx1?(ax0?bx0)?(3ax0?b)(x1?x0)，
整理得：(x0?x1)2(2x0?x1)?0，解得，x0?x1或x0??33332x1。 当点M是对称中心即x1= 2-
x1=0时，过点M作曲线的切线切点是惟一的，且为M，故只有一条切线；当点M不是对称2中心即x1?0时，过点M作曲线的切线可产生两个不同的切点，故必有两条切线，其中一条就是以M为切点（亦即曲线在点M处）的切线。
，?3)的切线方程是 ． [巩固] 曲线y?x?2x?4x?2上过点(1
32答案
3232x?2，x?0；[巩固2]B； ，[巩固2]A，2、[巩固1] F?(x)?1??27xx133、[巩固1] 3，[巩固2]B，[巩固3]1或；4、[巩固]5x?y?2?0，或21x?4y?9?0
41．[巩固1]
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