π?πωπ＋2π??π?当x∈?0，?时，ωx＋∈?，?，
105?5?10??
ωπ＋2ππ?π?若f(x)在?0，?单调递增，则<，即ω<3， 102?10?
1229
因为≤ω<，故③正确.
510答案：①③④
10．已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；
?π?(2)讨论函数f(x)在?0，?上的单调性．
2??
π??解：(1)因为f(x)＝sin ωx－cos ωx＝2sin?ωx－?，
4??且T＝π，所以ω＝2， π??所以f(x)＝2sin?2x－?.
4??
ππkπ3π
令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)．
4228即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝
kπ3π
2＋8
(k∈Z)．
πππ
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
242
π3π??得函数f(x)的单调递增区间为?kπ－，kπ＋?(k∈Z)．
88??
?π?注意到x∈?0，?，所以令k＝0，
2??
?π??3π?得函数f(x)在?0，?上的单调递增区间为?0，?， 2?8???
同理，其单调递减区间为?
?3π，π?.
2??8?
[B级 能力提升]
π?ππ?11．(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间?，?单调递增的是( )
2?42?A．f(x)＝|cos 2x| C．f(x)＝cos |x|
B．f(x)＝|sin 2x| D．f(x)＝sin |x|
π?ππ?解析：作出f(x)＝|cos 2x|的图象，由图象知f(x)＝|cos 2x|的周期T＝，在?，?2?42?
- 5 -
上递增，A正确．又f(x)＝|sin 2x|在?
?π，π?上是减函数，B错误．且f(x)＝cos |x|＝cos
??42?
x，周期T＝2π，f(x)＝sin |x|不是周期函数，所以C、D均不正确．
答案：A
ππ
12．(2018·北京卷)设函数f(x)＝cos(ωx－)(ω>0)．若f(x)≤f()对任意的实数
64
x都成立，则ω的最小值为________．
π
解析：因为f(x)≤f()对任意的实数x都成立，
4π
所以当x＝时，f(x)取得最大值，
4πππ
即f()＝cos(ω－)＝1，
446ππ
所以ω－＝2kπ，k∈Z，
462
所以ω＝8k＋，k∈Z.
3
2
因为ω>0，所以当k＝0时，ω取得最小值.
32答案：
3
12
13．已知函数f(x)＝(2cos x－1)·sin 2x＋cos 4x.
2(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；
2π?απ?(2)若α∈(0，π)，且f ?－?＝，求tan(α＋)的值．
3?48?212
解：(1)f(x)＝(2cos x－1)sin 2x＋cos 4x
21
＝cos 2xsin 2x＋cos 4x
21
＝(sin 4x＋cos 4x) 2＝
π?2?
sin?4x＋?，
4?2?
2ππ
＝. 42
- 6 -
所以f(x)的最小正周期T＝
ππ3π
令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，
242得
kππ
kπ5π
＋≤x≤＋，k∈Z. 216216
所以f(x)的单调递减区间为?
?kπ＋π，kπ＋5π?(k∈Z)．
?16??2162
π?2?απ??(2)因为f ?－?＝，即sin?α－?＝1.
4??48?2?ππ3π
因为α∈(0，π)，所以－<α－<，
444ππ3π
所以α－＝，故α＝. 424
3ππ
tan ＋tan
43－1＋3π??所以tan?α＋?＝＝＝2－3.
3?3ππ1＋3?
1－tan tan
43
[C级 素养升华]
14．(多选题)(2019·全国卷Ⅰ改编)关于函数f(x)＝sin |x|＋|sin x|有下述四个结论，其中正确的结论是( )
A．f(x)是偶函数
?π?B．f(x)在区间?，π?单调递增
?2?
C．f(x)在[－π，π]有4个零点 D．f(x)的最大值为2
解析：f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin
x|＝f(x)，故f(x)是偶函数，A正确；
?π?当x∈?，π?时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x单调递减，B不正确；
?2?
当x∈[0，π]时，sin x≥0，f(x)＝2sin x有两个零点，当x∈[－π，0)时，f(x)＝－2sin x仅有一个零点，故C不正确；
当x≥0时，f(x)＝sin x＋|sin x|，其最大值为2，又f(x)是R上的偶函数，故f(x)在R上的最大值为2，D正确．
综上A，D正确，B，C不正确． 答案：AD
- 7 -
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