初中数学九大几何模型
一、手拉手模型----旋转型全等
D（1）等边三角形
A图 1 BAC图 2 BOCEODE【条件】：△OAB和△OCD均为等边三角形；
【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③OE平分∠AED （2）等腰直角三角形
【条件】：△OAB和△OCD均为等腰直角三角形；
【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=90°；③OE平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形
ODDDOEECCOA图 1BA图 2BOCEDEC【条件】：△OAB和△OCD均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB
【结论】：①△OAC≌△OBD； ②∠AEB=∠AOB； ③OE平分∠AED
A图 1BA图 2B二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况
OOD【条件】：CD∥AB， 将△OCD旋转至右图的位置
ACDCBABDE【结论】：①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD； ②延长AC交BD于点E，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况
COOCE 【条件】：CD∥AB，∠AOB=90° 将△OCD旋转至右图的位置 ADBAB【结论】：①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD； ②延长AC交BD于点E，必有∠BEC=∠BOA； ③
BDODOB???tan∠OCD；④BD⊥AC； ACOCOA2⑤连接AD、BC，必有AD2?BC2?AB三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°
?CD2；⑥S△BCD?1AC?BD 2ACD【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC平分∠AOB
【结论】：①CD=CE；②OD+OE=2OC；③S△DCE?S△OCD?S△OCE证明提示：
①作垂直，如图2，证明△CDM≌△CEN
②过点C作CF⊥OC，如图3，证明△ODC≌△FEC ※当∠DCE的一边交AO的延长线于D时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE；②OE-OD=2OC； ③S△OCE?S△OCD
DOE图 1 B1?OC2 2CAMDON图 2EBAMC1?OC2A2
COD
O图 3EFBN图 4EB（2）全等型-120°
【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC平分∠AOB
【结论】：①CD=CE；②OD+OE=OC；③S△DCE?S△OCD?S△OCE? 证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；
②如右下图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明△OCF为等边三角形。
F
OEBA3OC24
CACFOEFB（3）全等型-任意角ɑ
【条件】：①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE；
【结论】：①OC平分∠AOB；②OD+OE=2OC·cosɑ； ③S△DCE?S△OCD?S△OCE?OC2?sinα?cosα※当∠DCE的一边交AO的延长线于D时（如右下图）：
原结论变成：① ； ② ； ③ 。 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。
DACA
O
DEBCOEB 对角互补模型总结：
①常见初始条件：四边形对角互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线； ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别； ③注意OC平分∠AOB时，
∠CDE=∠CED=∠COA=∠COB如何引导？
四、模型四：角含半角模型90° （1）角含半角模型90°---1
【条件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；
【结论】：①EF=DF+BE；②△CEF的周长为正方形ABCD周长的一半； 也可以这样：
【条件】：①正方形ABCD；②EF=DF+BE；
【结论】：①∠EAF=45°； A
ACDOEBDADFFB
（2）角含半角模型90°---2
ECGBEC【条件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；
【结论】：①EF=DF-BE；
FFFEBCEBCEBCADADAD
（3）角含半角模型90°---3
【条件】：①Rt△ABC；②∠DAE=45°；
【结论】：BD2?CE2?DE2（如图1）
若∠DAE旋转到△ABC外部时，结论BD2?CE2?DE2仍然成立（如图2）
DBECDBECBDECBDFECAAFAA（4）角含半角模型90°变形
AHDFGAHDFG【条件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；
【结论】：△AHE为等腰直角三角形； 证明：连接AC（方法不唯一） ∵∠DAC=∠EAF=45°，
BECBEC∴∠DAH=∠CAE，又∵∠ACB=∠ADB=45°； ∴△DAH∽△CAE，∴
DAAC ?AHAE∴△AHE∽△ADC，∴△AHE为等腰直角三角形
模型五：倍长中线类模型 （1）倍长中线类模型---1 【条件】：①矩形ABCD；②BD=BE； ③DF=EF； 【结论】：AF⊥CF
BCEHBEHFFADAD
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