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模型提取：①有平行线AD∥BE；②平行线间线段有中点DF=EF； 可以构造“8”字全等△ADF≌△HEF。 （2）倍长中线类模型---2

【条件】：①平行四边形ABCD；②BC=2AB；③AM=DM；④CE⊥AB； 【结论】：∠EMD=3∠MEA

辅助线：有平行AB∥CD，有中点AM=DM，延长EM，构造△AME≌△DMF，连接CM构造 等腰△EMC，等腰△MCF。（通过构造8字全等线段数量及位置关系，角的大小转化）

BCBCEAMDEAMDF模型六：相似三角形360°旋转模型

（1）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型---倍长中线法 【条件】：①△ADE、△ABC均为等腰直角三角形；②EF=CF； 【结论】：①DF=BF；②DF⊥BF

辅助线：延长DF到点G，使FG=DF，连接CG、BG、BD，证明△BDG为等腰直角三角形； 突破点：△ABD≌△CBG； 难点：证明∠BAO=∠BCG

EADDBABFFCCG（2）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型---补全法 【条件】：①△ADE、△ABC均为等腰直角三角形；②EF=CF； C【结论】：①DF=BF；②DF⊥BF 辅助线：构造等腰直角△AEG、△AHC； 辅助线思路：将DF与BF转化到CG与EF。

ADBEFADGFCBEH

（3）任意相似直角三角形360°旋转模型---补全法

【条件】：①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE； 【结论】：①AE=DE；②∠AED=2∠ABO

辅助线：延长BA到G，使AG=AB，延长CD到点H使DH=CD，补全△OGB、△OCH构造旋转模型。转化AE与DE到CG与BH，难点在转化∠AED。

A

DADOGOH

BEBCEC（4）任意相似直角三角形360°旋转模型---倍长法

【条件】：①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE； 【结论】：①AE=DE；②∠AED=2∠ABO

辅助线：延长DE至M，使ME=DE，将结论的两个条件转化为证明△AMD∽△ABO，此为难点， 将△AMD∽△ABC继续转化为证明△ABM∽△AOD，使用两边成比例且夹角相等，此处难点在

O证明∠ABM=∠AOD

BAOADDBEEC模型七：最短路程模型

（1）最短路程模型一（将军饮马类）

CMABPA+PBPl总结：右四图为常见的轴对称类最短路程问题， 最后都转化到：“两点之间，线段最短：解决； 特点：①动点在直线上；②起点，终点固定

B'

A'l1APABQPA+PQ+BQB'l2PPA+PQ+BQQB'lPA+PQ+BQQBBA'A'Pl1l2A

（2）最短路程模型二（点到直线类1）

【条件】：①OC平分∠AOB；②M为OB上一定点；③P为OC上一动点；④Q为OB上一动点； 【问题】：求MP+PQ最小时，P、Q的位置？

辅助线：将作Q关于OC对称点Q’，转化PQ’=PQ，过点M作MH⊥OA，

A则MP+PQ=MP+PQ’?MH(垂线段最短）

（3）最短路程模型二（点到直线类2） 【条件】：A(0,4),B(-2,0),P(0,n） 【问题】：n为何值时，PB?POQMBAQ'HP5PA最小？ 55；②过B作BD⊥AC，交y轴于点E，即为5求解方法：①x轴上取C(2,0),使sin∠OAC=

所求；③tan∠EBO=tan∠OAC=

1，即E（0，1） 2yAyAPPEDBOxBOCx

（4）最短路程模型三（旋转类最值模型）

【条件】：①线段OA=4，OB=2；②OB绕点O在平面内360°旋转； 【问题】：AB的最大值，最小值分别为多少？

【结论】：以点O为圆心，OB为半径作圆，如图所示，将问题转化为

B“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”。 最大值：OA+OB；最小值：OA-OB

【条件】：①线段OA=4，OB=2；②以点O为圆心，OB，OC为半径作圆； ③点P是两圆所组成圆环内部（含边界）一点；

【结论】：若PA的最大值为10，则OC= 6 ；若PA的最小值为1，则OC= 3 ； 若PA的最小值为2，则PC的取值范围是 0

【条件】：①Rt△OBC，∠OBC=30°；

②OC=2；③OA=1；④点P为BC上动点（可与端点重合）； ⑤△OBC绕点O旋转

【结论】：PA最大值为OA+OB=1?23；PA的最小值为如下图，圆的最小半径为O到BC垂线段长。

A最小值位置O最大值位置CAPBO1OB?OA?23?1

CCPAAOBOBP

模型八：二倍角模型

【条件】：在△ABC中，∠B=2∠C；

辅助线：以BC的垂直平分线为对称轴，作点A的对称点A’，连接AA’、BA’、CA’、 则BA=AA’=CA’(注意这个结论）

此种辅助线作法是二倍角三角形常见的辅助线作法之一，不是唯一作法。 B

模型九：相似三角形模型 （1）相似三角形模型--基本型 平行类：DE∥BC；

BCBCBCDEAEADEDAAAA'CBC A字型 8字型 A字型 结论：

（2）相似三角形模型---斜交型 【条件】：如右图，∠AED=∠ACB=90°； 【结论】：AE×AB=AC×AD

【条件】：如右图，∠ACE=∠ABC； 【结论】：AC=AE×AB

B斜交型CB双垂型C2

ADAEDE(注意对应边要对应） ??ABACBCAAEECB斜交型DBD斜交型CAAEE

第四个图还存在射影定理：AE×EC=BC×AC；BC=BE×BA；CE=AE×BE； （3）相似三角形模型---一线三等角型 【条件】：（1）图：∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°； （2）图：∠ABC=∠ACE=∠CDE=60°； （3）图：∠ABC=∠ACE=∠CDE=45°； 【结论】：①△ABC∽△CDE；②AB×DE=BC×CD； 一线三等角模型也经常用来建立方程或函数关系。

EEAA2

2

EABC图（1）D

（4）相似三角形模型---圆幂定理型 【条件】：（2）图：PA为圆的切线； 【结论】：（1）图：PA×PB=PC×PD； （2）图：PA=PC×PB; （3）图：PA×PB=PC×PD； 以上结论均可以通过相似三角形进行证明。

2

BC图（2）DBC图（3）DDPBAC图（1）PAPACBBD图（3）C图（2）