导数经典习题
选择题：
1．已知物体做自由落体运动的方程为s?s(t)?12 gt,若?t无限趋近于0时，
2s(1??t)?s(1)无限趋近于9.8m/s，那么正确的说法是（ ）
?tA．9.8m/s是在0～1s这一段时间内的平均速度 B．9.8m/s是在1～（1+?t）s这段时间内的速度
C．9.8m/s是物体从1s到（1+?t）s这段时间内的平均速度 D．9.8m/s是物体在t?1s这一时刻的瞬时速度.
2．一个物体的运动方程为s?1?t?t2其中s的单位是米，t的单位是秒，
那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）
A．7米/秒 B．6米/秒 C．5米/秒 D．8米/秒
3. 若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f /(x)的图象是（ ）
y y y y o x o B
x o x o x
A
C D
4．函数y?f(x)在一点的导数值为0是函数y?f(x)在这点取极值的（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．必要非充分条件
5．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x),g(x)满足f'(x)?g'(x),则
f(x)与g(x)满足（ ）
A．f(x)?g(x) B．f(x)?g(x)为常数函数 C．f(x)?g(x)?0 D．f(x)?g(x)为常数函数 6.. 若f(x)?sin??cosx,则f'(?)等于（ ） A．sin? B．cos? C．sin??cos?
D．2sin?
7. 已知函数f(x)??x3?ax2?x?1在(??,??)上是单调函数,则实数a的 取值范围是（ ）
A．(??,?3]?[3,??) B．[?3,3]
C．(??,?3)?(3,??) D．(?3,3)
8. 对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x?1)f'(x)?0，则必有（ ） A． f(0)?f(2)?2f(1) B. f(0)?f(2)?2f(1) C. f(0)?f(2)?2f(1) D. f(0)?f(2)?2f(1)
填空题：
1．若f/(1)?2012，则limf(1??x)?f(1)f(1??x)?f(1)= ，lim= ，
?x?0?x?0?x??xf(1)?f(1??x)f(1?2?x)?f(1)= ， lim= 。 lim?x?0?x?04?x?x
2．函数y=e- x的导数为 13. 若函数f(x)满足，f(x)?x3?f?(1)?x2?x,则f?(1)的值
34．若f(x)?x3,f'(x0)?3，则x0的值为________________；
5．曲线y?x3?4x在点(1,?3) 处的切线倾斜角为__________；
6．函数y?x3?x2?5x?5的单调递增区间是__________________________。 7. 已知函数f(x)?ln(x?1)?ax?1?a， x?1若曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线l:y??2x?1平行，则 a的值 8. 函数f(x)?x3?4x?5的图像在x?1处的切线在x轴上的截距为________________。
9．若f(x)?ax3?bx2?cx?d(a?0)在R增函数，则a,b,c的关系式为是 。
10. 若函数f(x)=x(x-c)在x?2处有极大值，则常数c的值为_________； 11. 设函数f(x)?cos(3x??)(0????)，若f(x)?f?(x)为奇函数，则?=__________
12. 对正整数n，设曲线y?xn(1?x)在x?2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，
?a?则数列?n?的前n项和的公式是
?n?1?
解答题
1．求垂直于直线2x?6y?1?0并且与曲线y?x3?3x2?5相切的直线方程。 2．求函数y?(x?a)(x?b)(x?c)的导数。
r13ra?(3,?1),b?(,)，若存在不同时为0的实数k和t，使3．平面向量
22rrrrrrrrx?a?(t2?3)b,y??ka?tb,且x?y，试确定函数k?f(t)的单调区间。 4．求函数y?(1?cos2x)3的导数。
2
参考答案
选择题: 1.D 2.C 3.A 4.D 5.B 6.A 7.B 8.C 6. A f'(x)?sinx,f'(?)?sin?
7. B f'(x)??3x2?2ax?1?0在(??,??)恒成立，
??4a2?12?0??3?a?3(注意等于号)
8.C 当x?1时，f'(x)?0，函数f(x)在(1,??)上是增函数；当x?1时，
f'(x)?0，f(x)在(??,1)上是减函数
故f(x)当x?1时取得最小值，即有f(0)?f(1),f(2)?f(1),（注意大于等于号）得f(0)?f(2)?2f(1) 填空题:
1. 2012,-2012,-503,4024;
f(1??x)?f(1)提示: lim=f/(1)?2012;
?x?0?xf(1??x)?f(1)f(1??x)?f(1)=－lim= －f/(1)?－2012 lim?x?0?x?0??x?xf(1)?f(1??x)1f(1??x)?f(1)1=-lim=-f/(1)?－503 lim?x?04?x4?x?0?x4f(1?2?x)?f(1)f(1?2?x)?f(1)= 2lim=2f/(1)?4048 lim?x?0?x?0?x2?x（∵?x→0，则2?x→0）
2. -e-x
3. 0 提示：f?(1)为常数，f’ (x)=x2－2f?(1)x－１，令ｘ＝１则f?(1)＝１－
2f?(1)－１,解得f?(1)＝０
4. ?1 f'(x0)?3x02?3,x0??1
33? y'?3x2?4,k?y'|x?1??1,tan???1,???
44556. (??,?),(1,??) 令y'?3x2?2x?5?0,得x??,或x?1
335.
7. 3 提示：f’ (x)＝线与
a1-a＋，∵y?f(x)在点(1,f(1))处的切2(x?1)x?1直线l:y??2x?1平行，而直线l:y??2x?1的斜率为－２，∴f’ (１)＝－２
f’ (１)＝
a1＝－２，解得 a＝３． -a＋2(1?1)1?1
338. ? f'(x)?3x2?4,f'(1)?7,f(1)?10,y?10?7(x?1),y?0时,x??
77（截距是实数，有正负）
9. a?0,且b2?3ac f'(x)?3ax2?2bx?c?0恒成立，
?a?02则?,a?0,且b?3ac 2???4b?12ac?010. 6 f'(x)?3x2?4cx?c2,f'(2)?c2?8c?12?0,c?2,或6，c?2时取极小值，舍去
?11. f'(x)??sin(3x??)(3x??)'??3sin(3x??)
6 f(x)?f?(x)?2cos(3x???)
3要使f(x)?f?(x)为奇函数，需且仅需??612. 2n?1?2 y/??3?k???2,k?Z，
即：??k???,k?Z。又0????，所以k只能取0，从而???6n?1?n?2?,切线方程为:y?2n??2n?1?n?2?(x?2)， x?2??2n。
令x?0，求出切线与y轴交点的纵坐标为y0??n?1?2n，所以
2?1?2an?a??2n，则数列?n?的前n项和Sn?n?11?2?n?1???2n?1?2
解答题
1. 3x+y+6=0
设切点为P(a,b)，函数y?x3?3x2?5的导数为y'?3x2?6x
切线的斜率k?y'|x?a?3a2?6a??3，得a??1，代入到y?x3?3x2?5 得b??3，即P(?1,?3)，y?3??3(x?1),3x?y?6?0。
2. 法一：化简在求导 Y=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+ac+bc)x-abc
Y′=3x^2-2(a+b+c)x+(ab+ac+bc)
法二; y'?(x?a)'(x?b)(x?c)?(x?a)(x?b)'(x?c)?(x?a)(x?b)(x?c)' ?(x?b)(x?c)?(x?a)(x?c)?(x?a)(x?b)
rr13rrrrb?0,a?2,b?1 3. 解：由a?(3,?1),b?(,)得ag22rr2rrrr2rrrr222[a?(t?3)b]g(?ka?tb)?0,?ka?tagb?k(t?3)agb?t(t?3)b?0
11?4k?t3?3t?0,k?(t3?3t),f(t)?(t3?3t)
443333f'(t)?t2??0,得t??1,或t?1；t2??0,得?1?t?1
4444所以增区间为(??,?1),(1,??)；减区间为(?1,1)。 4. 解：y?(1?cos2x)3?(2cos2x)3?8cos6x
y'?48cos5x?(cosx)'?48cos5x?(?sinx)
??48sinxcos5x。
附
几种常见的函数导数：
C'?0（C为常数）
(sinx)'?cosx
(xn)'?nxn?1（n?R） (cosx)'??sinx (lnx)'?1 (logax)'?1logae
xx(ex)'?ex (ax)'?axlna
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