专题过关检测（十五） 空间几何体与空间位置关系
A级
1．已知直线a与直线b平行，直线a与平面α平行，则直线b与α的关系为( ) A．平行 C．直线b在平面α内
B．相交
D．平行或直线b在平面α内
解析：选D 依题意，直线a必与平面α内的某直线平行，又a∥b，因此直线b与平面α的位置关系是平行或直线b在平面α内．
2.如图，正方形O′A′B′C′的边长为2 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是( )
A．12 cm C．4(1＋3)cm
B．16 cm D．4(1＋2)cm
解析：选B 由直观图可得原图如图所示，且OA＝2 cm，OB＝2O′B′＝42 cm，所以
AB＝6 cm，所以周长为16 cm.
3．(2019·广东省七校联考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AC与A1B所成的角为( )
A．30° C．60°
B．45° D．90°
解析：选C 如图，连接CD1，AD1，则A1B∥CD1，∴∠ACD1是异面
直线AC与A1B所成的角或其补角．易知△ACD1是等边三角形，∴∠ACD1＝60°，∴异面直线
AC与A1B所成的角为60°.故选C.
4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则其表面积为( )
A．2π C．8π
B．5π D．10π
1
解析：选C 由题得几何体原图是球被切割后剩下的，所以它的表面积由三个部分组
4111222
成，所以S＝×4π×2＋×π×2＋×π×2＝8π.
422
5．已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题中错误的是( ) A．如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥β B．如果m?α，α∥β，那么m∥β
C．如果α∩β＝l，m∥α，m∥β，那么m∥l D．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β
解析：选D 对于A，如果m⊥n，m⊥α，则n∥α或n?α，因为n⊥β，则α⊥β，故正确；对于B，如果m?α，α∥β，那么m与β无公共点，则m∥β，故正确；对于C，如果α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥l，故正确；对于D，如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α与β的关系不确定，故错误．
6．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为( )
A．2 C．4＋42
B．4＋22 D．4＋62
解析：选C 由三视图知，该几何体是直三棱柱ABC-A1B1C1，其直观图如图所示，其中AB＝AA1＝2，BC＝AC＝2，∠C＝90°，侧面为三个矩形，故该“堑堵”的侧面积S＝(2＋22)×2＝4＋42.
7.如图，在三棱锥P-ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是( ) A．AP⊥PB，AP⊥PC B．AP⊥PB，BC⊥PB
C．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC D．AP⊥平面PBC
解析：选B A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.又BC?平面
PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BPC⊥平面APC，平面BPC∩平面APC＝PC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC.又AP?平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正
确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.
1
8．如图，圆锥形容器的高为h，容器内水深为h1，且h1＝h，若将圆锥形容器倒置，
3水深为h2，则h2＝( )
2A.h 36C.h 33
B.19h 273D.
19h 3
4
解析：选D 设圆锥形容器的底面积为S，则倒置前水面的面积为S，所以水的体积V911419S′?h2?2Sh2
＝Sh－×S(h－h1)＝Sh.设倒置后水面的面积为S′，则＝??，所以S′＝2，所33981S?h?h333
1Sh219Sh219
以水的体积V＝S′h2＝2，所以Sh＝2，解得h2＝h.
33h813h3
9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值
2
为( )
A.C.
解析：选C 如图，连接BE，因为AB∥CD，所以AE与CD所成的角为∠EAB.在Rt△ABE中，设AB＝2，则BE＝5，则tan ∠EAB＝＝所以异面直线AE与CD所成角的正切值为
5
. 2
2 25 2
B.D.3 27 2
BEAB5，2
10．(2019·贵州适应性考试)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下面四个命题：
①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若α⊥β，m?α，n?β，则m⊥n；③若m∥α，
n?α，则m∥n；④若α∥β，γ∩α＝m，γ∩β＝n，则m∥n.
其中正确命题的序号是( ) A．①④ C．②③④
B．①② D．④
解析：选D 对于①，同垂直于一个平面的两个平面可能相交，命题①错误；对于②，在两个互相垂直的平面内的两条直线可能互相平行，可能相交，也可能异面，命题②错误；对于③，直线m与n可能异面，命题③错误；对于④，由面面平行的性质定理知命题④正确．故正确命题的序号是④，选D.
11．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：
①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D-ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC. 其中正确的结论是( ) A．①②④ C．②③④
B．①②③ D．①③④
解析：选B 由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形ABC
的斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，结合②知③正确；由①知④不正确．故选B.
12.如图，已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA＝EB＝3，AD＝2，∠AEB＝60°，则多面体E-ABCD的外接球的表面积为( )
A.16π
3
B．8π D．64π
C．16π
解析：选C 由题知△EAB为等边三角形，设球心为O，O在平面ABCD的射影为矩形ABCD的中心，O在平面ABE上的射影为△EAB的重心G，又由平面EAB⊥平面ABCD，则△OGA为直角三角形，OG＝1，AG＝3，所以R＝4，所以多面体E-ABCD的外接球的表面积为4πR＝16π.
2
2
13．(2019·北京高考)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l⊥m； ②m∥α； ③l⊥α.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________________________.
解析：已知l，m是平面α外的两条不同直线，
由①l⊥m与②m∥α，不能推出③l⊥α，因为l可以与α平行，也可以相交不垂直； 由①l⊥m与③l⊥α能推出②m∥α； 由②m∥α与③l⊥α可以推出①l⊥m. 故正确的命题是②③?①或①③?②.
答案：若m∥α且l⊥α，则l⊥m成立(或若l⊥m，l⊥α，则m∥α) 14.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若AA1＝4，
AB＝2，则四棱锥B-ACC1D的体积为________．
解析：取AC的中点O，连接BO(图略)，则BO⊥AC， 所以BO⊥平面ACC1D. 因为AB＝2，所以BO＝3.
因为D为棱AA1的中点，AA1＝4，所以AD＝2， 1
所以S梯形ACC1D＝×(2＋4)×2＝6，
2
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