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第一讲 数系扩张--有理数（一）
一、【问题引入与归纳】
1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成
mn（n?0,m,n互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）；
② 四则运算的封闭性（0不作除数）；
③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。
5、绝对值的意义与性质：
① |a|???a(a?0) ② 非负性 ??a(a?0)(|a|?0,a2?0)
③ 非负数的性质： i）非负数的和仍为非负数。
ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。
二、【典型例题解析】：
|例1 若ab0,则a|a?|b|b?|ab|ab的值等于多少？ 例 2 如果m是大于1的有理数，那么m一定小于它的（ D ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方
例3 已知两数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2，x2?(a?b?c)dx?(a?2)0b06?(?c)的值。2d
例4 如果在数轴上表示a、b两上实数点的位置，
如下图所示，那么|a?b|?|a?b|化简的结果等于（ ）
A.2a B.?2a C.0 D.2b
例5 已知(a?3)2?|b?2|?0，求ab的值是（ ）
1
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1、绝对值的几何意义
① |a|?|a?0|表示数a对应的点到原点的距离。 ② |a?b|表示数a、b对应的两点间的距离。 2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。
二、【典型例题解析】：
（1）若?2?a?0，化简|a?2|?|a?2| 例1 （2）若x解答：
例2 0，化简
||x|?2x|
|x?3|?|x|设a0，且x?a，试化简|x?1|?|x?2| |a|解答：
例3 a、b是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？
（1）|a?b|?|a|?|b|; （2）|ab|?|a||b|; （3）|a?b|?|b?a|; （4）若|a|?b则a?b （5）若|a||b|，则a解答：
例4 b （6）若ab，则|a||b|
若|x?5|?|x?2|?7，求x的取值范围。 解答：
例5 不相等的有理数a,b,c在数轴上的对应点分别为A、B、C，如果|a?b|?|b?c|?|a?c|，那
么B点在A、C的什么位置？
解答：
例6
设abcd，求|x?a|?|x?b|?|x?c|?|x?d|的最小值。
2
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（1）加法法则：同号相加取同号，并把绝对值相加；异号相加取绝对值较大数的符号，并用较大绝对值减较小绝对值；一个数同零相加得原数。
（2）减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
（3）乘法法则：几个有理数相乘，奇负得负，偶负得正，并把绝对值相乘。 （4）除法法则：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。
3、准确运用各种法则及运算顺序解题，养成良好思维习惯及解题习惯。
二、【典型例题解析】：
例1 5??1??3??计算：0.75???2??(?0.125)???12????4?
7??8??4??解答：
例2 计算：（1）、56??90.4.??18.??1?4???
（2）、（-18.75）+（+6.25）+（-3.25）+18.25 （3）、（-4解答：
例3 2?1??1??1?）+??3????6????2? 3?3??2??4??2??3??2?计算：①??3????2????1????1.75?
?3??4??3??1??1??1?②??1????4????2? ?2??4??3?解答：
?7??1??1??1?化简：计算：（1） 例4 ??4????5????4????3?
?8??2??4??8???3??5??1?2?（2）3.75??????????????4??0.125
3???8??6??2???3??4??（3）0?1????1????????5????????4
?7??7????2??3??5?（4）??7????1????3?
?3??4??6?
3
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③ 去、添括号法则； ④ 裂项法 4、综合运用有理数的知识解有关问题。
二、【典型例题解析】：
例1 计算：0.7?1解答：
23797?6.6??2.2??0.7??3.3? 11731181111)?(???1996234111)?(1???1997231) 1997 例2 计算：(1?1?1?23???111?(???234?1) 1996解答：
例3 计算：①?22?(?2)2?|3.14??|??(?1)3?|?3.14|
②5?3???2?4?[?3?(?2)2?(?4)?(?1)3]?7? 解答：
例4 化简：(x?y)?(2x?11y)?(3x?y)?1?22?3(9x?1y)并求当x?2, 8?9y?9时的值。
解答：
例5 22?132?142?1?2?2?计算：Sn?22?13?14?1n2?1?2 n?1解答：
例6 比较Sn?解答：
1234????24816?n与2的大小。 2n 例7 计算：
134711133(?)?[0.253?(?)3]?(5?1.25?4)?[(0.45)2?(2)]?(?1)2002 81634242001解答：
例8 已知a、b是有理数，且ab，含c?a?2ba?2cc?2b，x?，y?，请将a,b,c,x,y按从333 4
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（4）甲数与乙数的差的平方。
（5）甲、乙两数和的平方与甲乙两数平方和的商。 （6）甲、乙两数和的2倍与甲乙两数积的一半的差。 （7）比a的平方的2倍小1的数。 （8）任意一个偶数（奇数） （9）能被5整除的数。 （10）任意一个三位数。
例2 代数式的求值： （1）已知
2a?b2(2a?b)3(a?b)的值。 ?5，求代数式?a?ba?b2a?b（2）已知x?2y2?5的值是7，求代数式3x?6y2?4的值。
6a?2b?c的值(c?0)
a?4b?c112a?2b?ab（4）已知??3，求的值。
baa?b?2ab（3）已知a?2b；c?5a，求
（5）已知：当x?1时，代数式Px3?qx?1的值为2007，求当x??1时，代数式Px3?qx?的值。
（6）已知等式(2A?7B)x?(3A?8B)?8x?10对一切x都成立，求A、B的值。 （7）已知(1?x)2(1?x)?a?bx?cx2?dx3，求a?b?c?d的值。 （8）当多项式m2?m?1?0时，求多项式m3?2m2?2006的值。
例3 找规律：
Ⅰ.（1）(1?2)2?12?4(1?1)； （2）(2?2)2?22?4(2?1) （3）(3?2)2?32?4(3?1) （4）(4?2)2?42?4(4?1) 第N个式子呢？
2233?22?； 3??32?； 338844aa 4??42?； 若10??102?
1515bbⅡ.已知 2?（a、b为正整数），求a?b??
Ⅲ. 13?12;13?23?32;13?23?33?62;13?23?33?43?102;猜想：
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