【高考地位】
在直线与圆锥曲线的位置关系中，常出现这样一类问题：一个圆锥曲线上存在两点关于某直线对称，求方程中参数的范围. 这类问题涉及的知识面广，解题灵活性大，是高考中的一个热点和难点. 因此，掌握这类问题的解法是必要的和重要的.
【方法点评】 方法一 判别式法
使用情景：圆锥曲线中存在点关于直线对称问题
解题模板：第一步 假设这样的对称点A、B存在，利用对称中的垂直关系设出两点A、B所在的直线方 程；
第二步 联立AB所在直线方程与圆锥曲线方程，求出中点C的坐标； 第三步 把C的坐标代入对称直线，求出两个参数之间的等式； 第四步 利用联立后方程的△求出其中需求参数的范围.
例1. 已知椭圆C：3x2＋4y2=12,试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4x＋m，椭圆C上有不同两点关于这条直线对称.
213 213
解得：－ 【点评】对于此类问题有第一种解法，即抓住两点对称中体现的两要点：垂直（斜率之积为－1）和两点连线中点在对称直线上，至于参数的范围则是由联立后方程的△产生. 例2、在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，-3）为?OAB的直角顶点，已知AB?2OA，且点B的纵坐标大于零. （1）求向量 的坐标； （2）求圆x2?6x?y2?2y?0关于直线OB对称的圆的方程； （3）是否存在实数a，使抛物线y?ax2?1上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由；若存在，求a的取值范围. 【解析】 ?????u2?v2?100?AB?2OA（1）设AB?(u,v)，则由?，得?. ?4u?3v?0????AB?OA?0解得??u?6?u??6， 或?. ?v?8?v??8，∴ ，故 . ， ∵得 （3）设P(x1,y1),Q(x2,y2)为抛物线上关于直线OB对称的两点，则： ， 整理得： 即x1,x2为方程x?于是由??故当a? 2， 25?2ax??0的两个相异实根. 2a2a345?2aa??4??0，得. 2a22a232时，抛物线y?ax?1上总有关于直线OB对称的两点. 2 【点拨】关于直线的对称圆的半径不变，只有圆心不同，所以欲求对称圆方程，只需求其圆心，即已知圆圆心的关于直线的对称点即可；若曲线上存在关于直线OB的对称两点，则该两点的连线与曲线有两相异交点，即判别式大于零，由此即可求出a的取值范围. 【变式演练1】在抛物线y2?4x上恒有两点关于直线y?kx?3对称，求k的取值范围． 【变式演练2】求证：抛物线y= 12x－1上不存在关于直线y=x对称的两点。 212?b?a?1??2b)、b∈R，证明 如图2-83，若P、Q两点关于y=x对称，可设P(a、Q(b，则： a)且a≠b，a、?1?a?b2?1??2两式相减得：a+b=－2，b=－2－a，再代入前一式得a+2a+2=0，其判别式△=4－8<0。所以a这与题设矛盾。 ∴PQ两点不存在。 2R 方法二 点差法 使用情景：圆锥曲线中存在点关于直线对称问题 解题模板：第一步 设出两点和中点坐标（x，y）； 第二步 用“点差法”根据垂直关系求出x，y满足的关系式； 第三步 联立直线方程，求出交点，即中点； 第四步 由中点位置及对应范围求出参数取值范围. 例3、若抛物线y=ax-1上总存在关于直线x+y=0对称的两点，求a的范围． 解析：如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上关于直线x=-y对称的两点，则AB的方程可设为y=x+b。 2 解法二：曲线y=ax-1关于直线x+y=0对称曲线方程为：-x=ay-1， 2 22??y?ax?122?y?x?a(x?y) 解方程组：?2???x?ay?1∵x+y≠0 得a> ∴y=x－ 1222，代入y=ax－1得关于x的二次方程：ax?ax?(1?a)?0，由△>0a3。 4点评：这种方法巧之处在于利用抛物线方程的一次式设点，利用斜率和中点关系求出两根之和、两根之积，构造方程，利用△求出参数范围. 当然，不管是两种解法还是针对抛物线的特殊法，都无非紧紧抓住两点关于直线对称所产生的垂直及中点问题，不过在有关范围关系式的产生上有差别. 【变式演练3】如图倾斜角为?的直线经过抛物线y?8x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点． （Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程； （Ⅱ）若?为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明FP?FPcos2?为定值，并求此定值． 2
相关推荐：
loading