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[高考基础题型得分练]
1．双曲线x－my＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m＝( ) 1A. 4C．2 答案：D
解析：双曲线的方程可化为x－＝1，
1
2
2
2
1B. 2D．4
y2m∴实轴长为2，虚轴长为2∴2＝2×2
1
，解得m＝4.
1
m，
m2．已知双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，且经过点(2,2)，则C的方程为( ) A.－＝1 312C.－＝1 312答案：A
2
解析：由题意，设双曲线C的方程为－x＝λ(λ≠0)，因为双曲线C过点(2,2)，则44
2
x2y2
y2x2
B.D.
－＝1
123－＝1 123
x2y2
y2x2
y2
2
－2＝λ，解得λ＝－3，所以双曲线C的方程为－x＝－3，即－＝1.
4312
2
y2
2
x2y2
x2y2
3．[2017·吉林长春模拟]已知F1，F2是双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，以
abF1F2为直径的圆与双曲线的一个交点是P，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的
离心率是( )
A.2 C．2 答案：D
1
B.3 D．5
解析：不妨设点P位于第一象限，F1为左焦点，|PF2|＝m－d，|PF1|＝m，|F1F2|＝m＋d，其中m＞d＞0，则有(m－d)＋m＝(m＋d)，解得m＝4d，故双曲线的离心率 e＝＝5.
2
2
2
|F1F2|
|PF1|－|PF2|
y2?π?4．若双曲线x＋＝1的一条渐近线的倾斜角α∈?0，?，则m的取值范围是( )
3?m?
2
A．(－3,0) C．(0,3) 答案：A
B．(－3，0) D.?－??3?，0? 3?
y2
解析：由题意可知m<0，双曲线的标准方程为x－＝1，经过第一、三象限的渐近线
－m2
方程为y＝－mx，
?π?因为其倾斜角α∈?0，?，所以－m＝tan α∈(0，3)，故m∈(－3,0)．
3??
x2y2
5．[2017·河南郑州模拟]已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F作斜
ab率为－1的直线交双曲线的渐近线于点P，点P在第一象限，O为坐标原点，若△OFP的面积为
a2＋b2
8A.C.
，则该双曲线的离心率为( )
B.D.7 315 3
5 310 3
答案：C
解析：如图所示，
π
由 kPF＝－1，得∠PFO＝，
4由 kOP＝tan∠POF＝，得
ba 2
sin∠POF＝cos∠POF＝
ba2＋baa2＋b＝， 2＝， 2
bcacπ?b2a2a＋b?所以sin∠OPF＝sin?∠POF＋?＝×＋×＝. 4?c2c2?2c12a＋bc又∵S△OPF＝c·|PF|·＝＝，得
2288|PF|＝
2
2
2
c22
，
a＋bb2cc由正弦定理，得＝，
cc22
整理得a＝3b，又a＋b＝c，故e＝2
2
2
10
. 3
6．[2015·新课标全国卷Ⅰ]已知M(x0，y0)是双曲线C：－y＝1上的一点，F1，F2是
2
x2
2
C的两个焦点．若MF1·MF2＜0，则y0的取值范围是( )
A.?－→→
??33?，? 33?
B.?－?
?33?，? 66?
?2222?
C.?－，?
3??3
答案：A
解析：由题意知，a＝2，b＝1，c＝3， ∴ F1(－3，0)，F2(3，0)，
?2323?
D.?－，?
3??3
∴ MF1＝(－3－x0，－y0)，MF2＝(3－x0，－y0)． ∵ MF1·MF2＜0，
∴ (－3－x0)(3－x0)＋y0＜0， 即x0－3＋y0＜0.
∵ 点M(x0，y0)在双曲线上， ∴ －y0＝1，即x0＝2＋2y0，
2∴ 2＋2y0－3＋y0＜0，
2
2
2
2
2
→→
→
→
x20
222
3
∴ －33
＜y0＜.故选A. 33
7．已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长
916的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．
答案：44
解析：由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.
916∴|PQ|＝4b＝16>2a. 又∵A(5,0)在线段PQ上， ∴P，Q在双曲线的右支上， 且PQ所在直线过双曲线的右焦点，
??|PF|－|PA|＝2a＝6，
由双曲线定义知，?
?|QF|－|QA|＝2a＝6，?
x2y2
x2y2
∴|PF|＋|QF|＝28.
∴△PQF的周长是|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44.
x2y2
8．已知F1，F2是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，
ab若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是________．
答案：3＋1
解析：因为MF1的中点P在双曲线上，|PF2|－|PF1|＝2a，△MF1F2为正三角形，边长都是2c，所以3c－c＝2a，所以e＝＝
ca23－1
＝3＋1.
x2y2
9．过双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于
ab点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．
答案：2＋3
解析：如图，F1，F2为双曲线C的左，右焦点，
4
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