2014年考研数学一真题与解析

设随机变量X的分布为P(X?1)?P(X?2)?1，在给定X?i的条件下，随机变量Y服从均匀分布2U(0,i),i?1,2．

（1） 求Y的分布函数； （2） 求期望E(Y). 【详解】（1）分布函数

F(y)?P(Y?y)?P(Y?y,X?1)?P(Y?y,X?2)?P(Y?y/X?1)P(X?1)?P(Y?y/X?2)P(X?2) ?当y?0时，F(y)?0；

1?P(Y?y/X?1)?P(Y?y/X?2)?2当0?y?1时，F(y)?11y3y??y； 222411y11??y?； 22242当1?y?2时，F(y)?当y?2时，F(y)?1． 所以分布函数为

,y?0?0?3?y,0?y?1?4F(y)??

1y??,1?y?2?24?1,y?2??3?4,0?y?1??1（2）概率密度函数为f(y)?F'(y)??,1?y?2，

?4?,?0其它?E(Y)??2y33ydy??dy?． 04144123．（本题满分11分）

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x????,x?0，其中?为未知的大于零的参数，X1,X2,?,Xn是来设总体X的分布函数为F(x,?)??1?e?x?0?0,2自总体的简单随机样本，

（1）求E(X),E(X)；（2）求?的极大似然估计量．

2?^?（３）是否存在常数a，使得对任意的??0，都有limP??n?a????0．

n????【详解】（１）先求出总体X的概率密度函数

?2x?x?e?,x?0f(x,?)???，

?0,x?0?2EX??2??2x20???e?x2?dx???x2??0xde?x2???xex2?x2???|0????0e?x2?dx???；

EX??2x30?e??dx???1??0xe2??dx?2??1??0te?dt??;

?t（２）极大似然函数为

?x2i?n?n?i?1?2nL(?)??f(xi,?)??n?xie?,xi?0

i?1i?1???0,其它?当所有的观测值都大于零时，LnL(?)?nln2?n?lnxi?1ni?nln???x?i?11n2i，

^dlnL(?)令?0，得?的极大似然估计量为??d?2x?ii?1nn2；

22（３）因为X1,X2,?,Xn独立同分布，显然对应的X1,X2,?,Xn也独立同分布，又有（１）个可知

?1n2?EX??，由辛钦大数定律，可得limP??xi?EXi????0，

n???ni?1?2i由前两问可知，??^?xi?1n2in，EXi??，所以存在常数a??，使得对任意的??0，都有

2?^?limP??n?a????0． n????

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