“APOS理论”指导下的高中数学概念教学

教师要充分发挥传统变式教学的优势，把交织着的概念的本质属性和非本质属性分离开.同时，用开放性问题、实际情境性问题、学生自己举反例、作概念图表等多种方式，多渠道、多角度地丰富学生对“对象”的理解，帮助学生的认识上升到“图式”的层次.要做到“瞻前顾后”，注重概念的前后联系，注重在概念体系中学习概念，以促使学生形成良好的认知结构，正如布鲁纳所说：“获得的知识，如果没有完满的结构把它联在一起，那是一种多半会被遗忘的知识，一串不连贯的论据在记忆中仅有短促得可怜的寿命.”“多元联系表示”是理解和掌握概念的金钥匙. 3 APOS理论指导概念教学的实践

理论研析的最终目的是指导实践，为此，我们选取了近十个高中数学的核心概念教学课题，布臵课题组成员进行以APOS理论为指导的教学分析，并进行上课实践，每个课题都经历了个人备课、集体磨课、成员上课、评课反思等环节（有的课题还多次经历上述环节），以获取第一手材料.以下列举其中的两个典型案例加以说明.

3.1 APOS理论指导下的“排列”教学（安徽省2008年教坛新星评选参赛课题）

“操作阶段”：

教师在简单引入之后，提出如下问题：

问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别担任班长、团支书，有多少种不同的方案？ 学生动手操作，然后回答.由于该问题比较简单，学生可能出现利用树形图法、枚举法、分步计数原理等得出解答，教师小结每种方法的优点，有意识地追问利用分步计数原理的思考过程，并加以提炼，得到：

班长、团支书分别相当于位臵1、位臵2，∵位臵1有3种选法，相应地，位臵2有2种选法，∴不同方案数为3?2?6.

问题2：数字1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字的三位数？

学生操作这个相对复杂的问题，教师让学生比较不同方法的优劣，发现树形图法、枚举法由于情况较多，有点困难，而利用分步计数原理相对简单，类似问题1，得到：

无重复数字的三位数个数为5?4?3?60.

问题3：8名同学排成一队照相，有多少种不同的排队方法？

学生在解决该问题的过程中，更加体会到利用分步计数原理的优越性，得到：

不同方法数为8?7?6?5?4?3?2?1?40320.这里，学生的动手操作、思考比较，为下个阶段的反思提炼奠定了基础.

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“过程阶段”：

问题4：上述3个问题，具体的研究对象和任务都是不同的.从问题类型上看，它们有没有共同之处？

学生反思3个问题的类型，将“3人中选2人”、“5个数中选3个”、“8人全选”抽象概括为“从n个不同元素中取出m（m?n）个”，将“分别担任两个职务”、“组成三位数”、“排成一队” 抽象概括为“选出的元素要排顺序”.所以，共同之处是“先取（元素）后排（顺序）”.

问题5：从问题的解决方法上看，它们有没有共同之处？

学生不难得出，虽然树形图、枚举法都是可行的，但从简便的角度看，利用分步计数原理更为合理，更具有一般性.至此，“排列”概念的本质属性得以凸显，推导排列数公式的思想方法得以生根.

“对象阶段”：

问题6：这种“先取后排”的问题就是今天要学习的问题：排列.你能叙述排列的定义吗？ 学生尝试给排列下定义，教师适时纠正、补充，板书定义. 问题7：排列的主要特征有哪些？两个排列相同的条件是什么？

进一步引导学生巩固概念，抓住概念中的关键词.得出：排列的主要特征是元素的互异性与有序性；两个排列相同的条件是：元素相同，元素的顺序也相同.

问题8：从n个不同元素中取出m（m?n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取

mm出m个元素的排列数，记作An，排列与排列数是“个体”与“数量”的关系.那么，排列数An的计

算公式是什么呢？

教师引导学生回顾前面三个实例中的求解方法与步骤，紧扣分步计数原理，由简单到复杂，由特殊到一般，层层推进，得出公式.进而分析公式的结构特征，明确公式的作用（即：对于排列问题，可直接利用公式求出排列的个数）.至此，学生对排列的概念有了初步的认识（明确了定义，会将排列数用符号表示，并推导出计算排列数的公式）.

“图式阶段”：

问题9：判断下列问题是否为排列问题？若是，求出排列数.

（1）从1，2，3，5中任取两个不同数相乘，可得到多少个不同的结果？ （2）从1，2，3，5中任取两个不同数相除，可得到多少个不同的结果？ （3）有12个车站，共需准备多少种车票？ （4）4封信投入5个邮筒，有多少种不同的投法？

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（5）4封信投入5个邮筒，每个邮筒至多投一封，有多少种不同的投法？

师生共同讨论，能将排列问题与其它问题区分开来，深化对排列概念的理解，同时训练学生计算排列数的技能.

m问题10：为了简便，以后我们将n(n?1)(n?2)???2?1称为n的阶乘，记作n!.如何将排列数An用阶乘表示？

教师引导学生利用配凑因子，将排列数公式化为阶乘的形式，并让学生思考0!?1的必要性与合理性.

问题11：利用排列概念解题与利用分步计数原理解题，二者之间有何联系与区别？

此处旨在加强排列概念与已学知识的联系性，让学生明确：任何一个排列问题都可以纳入到分步计数问题中去，它是分步计数问题的特殊情况，但分步计数问题不一定是排列问题.当一个分步计数问题特殊为一个排列问题时，就可以整体考虑，利用排列数公式简化计算.

至此，学生的认知结构得到了充实与优化，形成了一个大的、新的图式. 3.2 APOS理论指导下的“周期性”教学（安徽省2008年特级教师评选参赛课题）

“操作阶段”：首先引导学生列举生活中的一些“周期性”现象，如潮汐现象等；然后分别画出单位圆中角?的正弦线、余弦线，观察随着角?的终边绕原点旋转，正弦线、余弦线的变化规律；再分别画出正弦函数、余弦函数的图像，观察图像的变化规律，从不同的角度体会“周而复始”特征，最后学生尝试用自然语言描述这种特征.

“过程阶段”：将直观体验上升到理性认识，将自然语言转化为数学语言，深化对“周而复始”的数学本质的理解.以正弦为例，可以设臵如下问题：

问题1：你能从哪个公式反映出正弦值随自变量的这种“周而复始”的变化规律？ 引导学生回忆诱导公式：sin(??2k?)?sin?，k?Z，由形到数. 问题2：正弦函数为f(x)?sinx，请将上述关系写成f(?)?f(?)的形式. 突出函数值随自变量的“周而复始”，同时向一般性周期函数的定义式靠拢.

问题3：在上述关系式中，?（或x）的取值是定义域内的某一个（某些）值，还是任意值？ 旨在强调这是一个“恒等式”，对定义域内任一自变量值都成立.

“对象阶段”：教师首先指出：在数学上，为了定量地刻画这种“周而复始”的变化规律，将符合上述特征的函数称为周期函数.然后对于一般的函数f(x)，让学生用数学语言描述在什么条件下，函数f(x)为周期函数，进而给出周期函数与周期的定义.最后通过问题串对概念进行辨析：

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问题4：正弦函数、余弦函数是周期函数吗？为什么？哪些数都是它们的周期？（顺便说明最小正周期的含义）

问题5：对于f(x)?sinx，当x?2k???4，k?Z时，计算f(x)与f(x??2)是否恒等？

?是2否为函数f(x)?sinx的一个周期？为什么？

旨在强调恒等式必须对定义域中每个x都成立，缺一不可.

问题6：对于y?sin2x，当x?R时，计算sin2x与sin(2x?2?)是否恒等？2?是否为函数

y?sin2x的一个周期？2?是否为正周期？

学生可能认为2?就是y?sin2x的最小正周期.教师可以让学生利用“五点法”画出函数

y?sin2x的图象，由图像可以得出2?虽然是周期，但最小正周期是?，引起矛盾冲突.然后引导学

生回到定义：若设f(x)?sin2x，则sin(2x?2?)并不是f(x?2?)，而是f(x??)，因此，无论从图像上，还是从定义上，y?sin2x的最小正周期都应该是?，而不是2?.这样，数与形的矛盾得以解决，加深了学生对f(x?T)?f(x)的理解：这里的非零常数T应该是自变量x“本身”的变化量.

“图式阶段”：学生练习用定义求函数的最小正周期，特别是对于类似于y?2sin(数，学生容易出错.可以紧扣定义，强调将解析式写成f(x)?2sin(1?x?)的函261?x?)的形式，这样，261?1?2sin(x?)?2sin[(x?)?2?]即为f(x)?f(x?4?)，因此，最小正周期是4?.接着引导

2626学生将其一般化，推导出函数f(x)?Asin(?x??)与f(x)?Acos(?x??)的周期计算公式. （说明：本节课主要是以正余弦函数为载体学习周期函数，由于周期函数并不局限于正余弦函数，因此周期函数概念的图式不是一节课就能完成的，在随后的学习中，可以逐渐深入，并加强与其它知识的联系.如周期函数定义域的要求，“取整函数”y?[x]是否为周期函数，常数函数y?a（a为常数）是否为周期函数，周期性与奇偶性、单调性、最值、图像的结合等，这需要一个循序渐进的过程.） 4 对APOS理论指导概念教学的思考

在上述理解与实践的基础上，我们对APOS理论指导高中数学概念教学提出如下观点： 4.1 APOS理论揭示了数学概念，特别是核心概念学习的本质

APOS理论对数学学习概念过程中学生的思维活动进行了深入的研究，正确揭示了数学概念学习活动的特殊性，提出学生学习概念要经过“活动”、“过程”、“对象”和“图式”4个阶段，反映了学生学习数学概念过程中真实的思维活动，对数学概念，特别是核心概念的教与学具有很强的指导作用.

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