拉普拉斯变换

§13 拉普拉斯变换

重点：1.拉普拉斯反变换部分分式展开

2.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路3.应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤

难点：

1. 拉普拉斯反变换的部分分式展开法

2. 电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用本章与其它章节的联系：

是后续各章的基础，是前几章基于变换思想的延续。预习知识：

积分变换

§13－1 拉普拉斯变换的定义

1. 拉普拉斯变换法

拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，把时域问题通过数学变换为复频域问题，求出待求的复变函数后，

其核心是把时间函数

f(t) 与复变函数

F(s) 联系起来，

在

把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，

由于解复变函数的代数方程比解

再作相反的变换得到待求的时间函数。

时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。2. 拉普拉斯变换的定义

一个定义在

[0,+∞) 区间的函数

f(t) ，它的拉普拉斯变换式

F(s) 定义为

式中s=σ＋jω为复数，被称为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。

，它定义为

由F(s) 到f(t) 的变换称为拉普拉斯反变换

式中c 为正的有限常数。注意：

1）定义中拉氏变换的积分从

t=0- 开始，即：

它计及便。

t=0- 至0+ ，f(t) 包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来方

, 如I(s)，U(s) ，原函数f(t) 用小写字母表示，如i(t),u(t)。

2）象函数F(s) 一般用大写字母表示

3）象函数F(s) 存在的条件：

3.典型函数的拉氏变换

1) 单位阶跃函数的象函数

2) 单位冲激函数的象函数

3) 指数函数的象函数

§13－2 拉普拉斯变换的性质

13.1中。

拉普拉斯变换的性质列于表

表 13-1 拉氏变换的若干性质和定理

特性和定理

表达式

条件和说明

线性a 、b 为常数

时域延迟

位移特性

频域延迟

为一非负实数

若所有初值为零，则有

微分

积分

初值定理

或

存在所有奇点均在

终值定理

s 平面

或

左半部

卷积定理

积

应用拉氏变换的性质，同时借助于表数的象函数求解简化。

表 13-2 拉氏变换简表

为与的卷

13.2中所示的一些常用函数的拉普拉斯变式可以使一些函

1

Cos at Cosh at

Sin( at ) Sinh( at )

例13-1已知，求函数的像函数。

解：

例13-2已知

，求f(t)=

的象函数。

解：根据积分性质和时域延迟性质

例13-3求函数的像函数。

解：

例13-4求函数的像函数。

解：根据微分性质，因为，所以

例13-5 求函数的像函数。

解：根据频域导数性质有：

例13-6求函数的像函数。

解：根据频域导数性质有：

例13-7求函数的像函数。

解：根据频域导数性质有：

§13－3 拉普拉斯反变换的部分分式展开

1．拉普拉斯反变换法

用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。由象函数求原函数的方法有：

1）利用公式2) 对简单形式的

F(S) 可以查拉氏变换表得原函数

3) 把F(S) 分解为简单项的组合，也称部分分式展开法。

则

§13－3 拉普拉斯反变换的部分分式展开

2.部分分式展开法

用部分分式法求拉氏反变换

(海维赛德展开定理

)，即将

展开成部分分式，成为可在拉

氏变换表中查到的

的简单函数，然后通过反查拉氏变换表求取原函数

。

设，

的阶次不高于

的阶次，否则，用

除

以得到一个

的多项式与一个余式（真分式）之和。部分分式为真分式时，需对为分母多项式作

因式分解，求出

=0的根。

设象函数的一般形式：

即F（s）为真分式。下面讨论

=0 的根的情况。

，