量子力学 - 答案 - 曾谨言

(b)粒子1和2自旋均“向上”［相应于??1???2?，式（4’）中没有这种项］的几率为0。这是容易理解的。因为总自旋sz为守恒量，而体系初态sz?0，所以任何时刻sz必为0，不可能出现两个粒子均“向上”?sz?1?的情形。

(c)由式（4）可知，总自旋量子数s取1和0的几率相等，各为12。由于s守恒，这个几率不随时间改变 (d)利用式（4’）容易算出s1和s2的平均值为

2?s1xt?s1y?s2xt?s2y?0, ?tt?1?2At1?2At?s1zt??cos?sin?cosAt,? （5）

2?22?2??1s2zt??s1zt??cosAt 。 ??2?第九章 力学量本征值问题的代数解法

9—1） 在8.2节式（21）中给出了自旋（1）与轨迹角动量（l）耦合成总角动量j的波函数?ljmj，这相当于

2j1?l,j2?s?1的耦合。试由8.2节中式（21）写出表9.1（a）中的CG系数 2解：8.2节式（21a）（21b）:

j1m11m2jm 2?j?l?12 (l?0),mj?m?12?

?ljm?j?l?m?1Ylm??? ?2l?1?l?mYlm?1??1?j?l?12,mj?m?12??l??ljm?j?j?mjY11?j?,mj??1?22?? （21a） 2j?j?mjY11?j?,mj?22??j?12?

??l?mYlm??? ?2l?1?l?m?1Ylm?1??1?j?l?12 (l?0),mj?m?12??l?j?12?

??j?mj?1Y11??j?,mj??122?? （21b）

j?m?1Y2j?2?j11?j?,mj?22??此二式中的l相当于CG系数中的j1 ，而j2?s?1,mj~m,,~m1,m2??12。

2因此，（21a）式可重写为

jm??j1m1j2m2m2j1m1j2m2jm

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?j1m111111111jmj1m1?j1m1?jmj1m1? 22222222(21a),j?l?12?j1?1??j?m?12?1211??1?jm11??2j?1?222?1?????? （21a’） ??????j12?12?1?m?11???2j?1?1??j1m12?2??对照CG系数表，可知：当j?j1?j2?j1?12,m2?12时 ，

1jm11?j1?m?12?21122jm???? ?2j1＋1??而m2??12时，

1j11?j1?m?12?21m12?2jm???? ?2j1＋1??对于j?l?12?j1?12的（21b）式，有

1j111?j1?m?12?21m122j1?2,m?????2j1＋1?? ?1j111?j1?m?12?21m12?2j1?2,m?????2j1＋1? ?

9－2）设两个全同粒子角动量j?j1?j2，耦合成总角动量J，

?j2JM?m2JM?jm??jm m?jm1j1?12?2? 1m2利用CG系数的对称性，证明

p12?j2JM????2j?J?j2JM

由此证明，无论是Bose子或Fermi子，J都必须取偶数

证：由式（1），

p12?j2JM?jm2JM?jmm?jm11?2??jm2?1? 1m2把m1?m2, ??jm2jm1JM?jm2?2??jm1?1?

m1m2利用CG系数的对称性 ????2j?Jm1JM?jmm?j1m2j21?1??jm2?2?

1m2????2j?J?j2JM 对于Fermi子，j?半奇数，2j?奇数，但要求p12????，

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（1）

(2)