量子力学 - 答案 - 曾谨言

x?0,??,? V(x)??122m?x,x?0.??2求粒子能级。

解：既然粒子不能穿入x?0的区域，则对应的S.eq的本征函数必须在x?0处为零。另一方面，在x?0的区域，这些本征函数和谐振子的本征函数相同（因在这个区域，粒子的H和谐振子的H完全一样，粒子的波函数和谐振子的波函数满足同样的S.eq）。振子的具有n?2k?1的奇宇称波函数在x?0处为零，因而这些波函数是这一问题的解（n?2k的偶宇称波函数不满足边条件?(0)?0）所以

Ek??2k?32???, k?0,1,2,?

3—13）设粒子在下列势阱中运动，

V(x)????,x?0,??r??x?a?,x?0. ?r,a?0? 是否存在束缚定态？求存在束缚定态的条件。

解：S.eq: ??2d22mdx2??r??x?a???E? 对于束缚态（E?0），令 ???2mE? 则 d2dx2???2??2mr?2??x?a???0 积分

?a??a??dx,??0?,得?'跃变的条件

?'(a?)??'(a?)??2mr?2?(a) 在x?a处，方程(4)化为

d2dx2???2??0 边条件为 ?(0)?0, ?(?)?0?束缚态?

因此 ?(x)???sh?x,0?x?a,?Ae??x,x?a. 再根据x?a点?(x)连续条件及?'(x)跃变条件(5)，分别得

sh?a?Ae??a??(a) ??Ae??a??ch?a??2mr?2?(a) 由（8）（9）可得（以?a?(a)乘以（9）式，利用（8）式）

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(1)

(2)

(3)

(4) (5) (6) (7)

(8)

(9) ?a??acoth?a?2mra (10) 2??此即确定能级的公式。下列分析至少存在一条束缚态能级的条件。 当势阱出现第一条能级时，E?0?，所以?a?0, 利用 lim?acoth?a?lim?a?0?a?1,

?a?0th?a2mra? , ??a??acoth?a?1?02?2mra因此至少存在一条束缚态能级的条件为 ?1 （11） 2?（10）式化为

纯?势阱中存在唯一的束缚能级。当一侧存在无限高势垒时，由于排斥作用（表现为?(x)?0，对x?0）。束缚态存在与否是要受到影响的。纯?势阱的特征长度L??2mr 。

条件（11）可改写为 a?L2 （12）

即要求无限高势垒离开?势阱较远（a?L2）。才能保证?势阱中的束缚态能存在下去。显然，当a??（即，?a??时，左侧无限高势垒的影响可以完全忽略，此时coth?a?1，式（10）给出 a??L2）

??mr2?2

?2?2mr2?即 E?? （13） 22m2?与势阱V(x)??r?(x)的结论完全相同。 令?a??， 则式（10）化为

2mra （14） ?22mra???1，所以只当2?1时，式（10）或（14）才有解。解出根?之后，利用由于??1?coth???1?coth??????a?a?2mE?，即可求出能级

?2?2E?? （15） 22ma第四章 力学量用算符表达与表象变换 4.1）设A与B为厄米算符，则

1?AB?BA?和1?AB?BA?也是厄米算符。由此证明，任何一个算符F均可分22i解为F?F??iF?，F?与F?均为厄米算符，且

F??1?F?F??, F?1?F?F?? 22i 18

1??11?1???证：ⅰ）??AB?BA????BA?AB???BA?AB???AB?BA?

222?2??? ?1?AB?BA?为厄米算符。 21?1??B?A??A?B????1?BA?AB??1?AB?BA? ⅱ）??AB?BA????2i??2i2i2i? 12i?AB?BA?也为厄米算符。 ⅲ）令F?AB，则F???AB???B?A??BA， 且定义 F1??2?F?F??, F?12i?F?F?? 由ⅰ），ⅱ）得F????F?, F??F?，即F?和F?皆为厄米算符。 则由（1）式，不难解得 F?F??iF?

4.2）设F(x,p)是x,p的整函数，证明

?p,F???i????xF, ?x,F??i??pF ?整函数是指F(x,p)可以展开成F(x,p)?Cmmnxpn。

m?,n?0证： （1）先证?p,xm???mi?xm?1, ?x,pn??ni?pn?1。

?p,xm??xm?1?p,x???p,xm?1?x??i?xm?1?xm?2?p,x?x??p,xm?2x2??2i?xm?1?xm?3?p,x?x2?p,xm?3?x3??3i?xm?1??p,xm?33????m?1?i?xm?1?????x?

p,xm??m?1??xm?1???m?1?i?xm?1?i?xm?1??mi?xm?1同理，

?x,pn??pn?1?x,p???x,pn?1?p?i?pn?1?pn?2?x,p?p?x,pn?2?p2?2i?pn?1???x,pn?2?p2??

?ni?pn?1现在，

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1） （?p,F?????p,?Cmpn??mnx???Cmn?p,xm?pn?m,n?0?m,n?0?

?xm?1?pnmnm?C??mi?,n?0而 ?i??F???Cm?1?xmn??mi?x?pn。 m,n?0? ?p,F???i???xF ?x,F??????x,?Cmn?mnxp???Cmnxm?x,pn??又 m,n?0?m,n?0

?mmnx?ni?pn?1?m??C,n?0而 i??F??p??Cmmnx?ni?pn?1? m,n?0? ?x,F??i???pF

4.3）定义反对易式?A,B???AB?BA，证明

?AB,C??A?B,C????A,C??B?A,BC???A,B??C?B?A,C?

?证：

?AB,C??A?B,C???A,C?B?ABC?ACB?ACB?CAB?A?BC?CB???AC?CA?B?A?B,C????A,C??B?A,BC???A,B?C?B?A,C??ABC?BAC?BAC?BCA??AB?BA?C?B?AC?CA???A,B?

?C?B?A,C??

4.4）设A，B，C为矢量算符，A和B的标积和矢积定义为

A?B??A?B?, ?A?B???????A?B?

?????,?,??x,y,z，????为Levi-civita符号，试验证

A??B?C???A?B??C??????A?B?C? ????A??B?C???A??B?C???A?B?C? ??A?B??C???A??B?C??A??B?C? 20

1）2）3） （

（ （