量子力学 - 答案 - 曾谨言

?a??1???1??ⅱ）取??1，得b?2a?2c，本征矢为?2a?，归一化后可得本征矢为?2?。

2???a????1??1??1?ⅲ）取???1，得b??2a??2c，归一化后可得本征矢为??2?。

2???1??1??1?2??1??C1C1在C1Y11?C1?0?态下， Lx取0的振幅为C1?100?，Lx取0的几率为；Lx取??0??222???0???1????1?21??C1C1的振幅为C1?100??2??，相应的几率为；

242???1??1?2?C1?2CLx取??的振幅为C1?100???2??12，相应的几率为1。总几率为C1。

42???1?2）Lx在l?2的空间，L,Lz对角化表象中的矩阵 利用 jm?1jxjm??2?121jm?1jxjm?2?j?m??j?m?1? ?j?m??j?m?1?

3，20jx2?1?2103002? 22jx21?1，21jx20?3，2?1jx2?2?1。 203030202030120??a???a?????0?b?b????0??c????c?

????d??d?1????e???e?????0??0??1?Lx??0??0??010300203030020320120??0??0??1??0?，本征方程?0??1??0??0??0b??a，a?33?b?d???c，3c?e??d，d??e，??0,?1,?2。 c??b，

222?1??0??????0??0?333?2?ⅰ）??0，。在C2Y20?C2?1?态下，测得Lx?0b?0，a??c，d?0，e??c本征矢为?????228?3??0??0??0??1????? 29

的振幅为C2?00100????3???8????1??0?2C22?C2。几率为； ???423?0?1???1????1?1ⅱ）??1，b?a，c?0，d??b，d?e，本征矢为?0?。在C2Y20态下，测得Lx??的振幅为

2????1???1????1????1?1C2?00100??0??0，几率为0。

2????1???1?????1?????1?1ⅲ）???1，b??a，c?0，d??b，e??d，本征矢为?0?，在C2Y20态下，测得Lx???几率为0。

??2?1??1??????c1?ⅳ）??2，b?2a，c?6a，d?2e?2a，e??a，本征矢为

4?6??????1?的振幅为C2?00100?4????1??2?632C2。几率为C2； 6???842?1??1??2?6?，在C2Y20态下，测得Lx?2??2?1???1?????2?1ⅴ）???2，b??2a，c?6a，d??2a，e?a，本征矢为?6?，在C2Y20态下，测得Lx??2?的

4????2??1???几率为

32C2。 8?331?? ????C2?884?2?C2。

2 30

在??C1Y11?C2Y20态中，测Lx（和Ly）的可能值及几率分别为：

3C28

2?21C14?2112C1?C2240212C14???2?32 C284.16）设属于能级E有三个简并态?1，?2和?3，彼此线形独立，但不正交，试利用它们构成一组彼此正交归一的波函数。 解： ?1?a?1?1??1,?1??1

1'2?2'??2???1,?2??1，?2???,?2'??2'，

1'3?3'??3???1,?3??1???2,?3??2，?3??1,?2,?3是归一化的。

??,?3'??3'。

??1,?2????1,?3????2,?3??

????1'2,?2'??????1,?2????1,?2???1,?1???0，

???1,?3????1,?3???1,?1????2,?3???1,?2???0， ???2,?3????1,?3???2,?1????2,?3???2,?2???0。

1'3,?3'??1'3,?3'。 ?它们是正交归一的，但仍然是简并的（可验证：它们仍对应于同一能级）4.17）设有矩阵A,B,C,S等，证明

det?AB??det?A??det?B?，det?S?1AS??detA，

Tr?AB??Tr?BA?，Tr?S?1AS??TrA，Tr?ABC??Tr?BCA??Tr?CAB?，

代表矩阵的对角元素之和。 detA表示矩阵相应的行列式得值，

证：（1）由定义detA??P?i1?in?a1i1a2i2?anin，

i1?in?1当?i1?in?是?1?n?的偶置换?P?i1?in????1当?i1?in?是?1?n?的奇置换

?0其他情形 ?

故上式可写成：detA?i1?in?P?i?i?P?j?j?a1n1nj1i1aj2i2?ajnin，

31

其中?j1?jn?是?1?n?的任意一个置换。

? detC?det?AB???1i1?inn?P?i?i?C1nj1?jn1j11i1C2i2?Cnin

i1?in?P?i?i??abj1i1a2j2bj2i2?anjnbjnin

?????aa?aPi?ibb?b?1j12j2njn??1nj1i1j2i2jnin?

j1?jn?i1?in?????P?j1?jn?a1j1a2j2?anjn??P?i1?in?P?j1?jn?bj1i1bj2i2?bjnin? j1?jn?i1?in??detA?detB

（2）detSAS?detS??1??1?detA?detS?detS?1?detS?detA

?detS?1S?detA?detA

（3）Tr?AB?????aikikbki??bkiaik?Tr?BA?

ik（4）TrSAS?TrS（5）Tr?ABC??ij??1???1?AS???Tr??AS?S?1??Tr?ASS?1??TrA

cki??bjkckiaij?Tr?BCA???ckiaijbjk?Tr?CAB?

ijkijk?abijkjk 第五章 力学量随时间的变化与对称性

5.1）设力学量A不显含t，H为本体系的Hamilton量，证明

d2??A???A,H?,H? 2dt2证.若力学量A不显含t，则有令?A,H??C

dA1??A,H?, dti?d2A1dC11???C,H?, ??C,H??则

i?dti?dt2?2d2? ??A???A,H?,H? 2dt2

5.2）设力学量A不显含t，证明束缚定态，证：束缚定态为:：?nr,t??nrendA?0 dt??。

?在束缚定态??r,t?，有H??r,t??i???r,t??E??r,t?。

?t?其复共轭为H??r,t???i???r?e?E??r,t?。

?t?iEnt???nnnn***nniEnt?*nn 32