a3?5ba2r3a2?5baa2r4 ?(r)?? dr??dr???2225?20?5?r5?a20?a00000ar求介质中的束缚电荷以及束缚电荷在轴线上产生的电场。 解: (1)介质中的束缚电荷体密度为?'????P?0
?a?(P0为常数）。2-15.半径为a，长度为L的圆柱介质棒均匀极化，极化方向为轴向，极化强度为P?P0z???? (2) 介质表面的束缚电荷面密度为?'s?n?P
在圆柱介质棒的侧面上束缚电荷面密度为零;在上下端面上束缚电荷面密度分别为?'s??P0.
(3) 上下端面上束缚电荷产生的电场
由例题2.2, 圆盘形电荷产生的电场为
???sz' E?2?(1?);z'022?0z(z')??z'?a????
s(1?z');?2?0z'2?a2z'?0式中a 为圆盘半径。将坐标原点放在圆柱介质棒中心。
对上式做变换,z'?z?L/2,?s?P0,可上端面上束缚电荷产生的电场为
??P0 E)???2?(1?z?L/20(z?L/2)2?a2);z?L/2z1(z???P
0(1?z?L/2);?2?0(z?L/2)2?a2z?L/2同理,做变换,z'?z?L/2,?s??P0,可下端面上束缚电荷产生的电场为 ???P0z?L/2 E?2?(1?0(z?L/2)2?a2);z??L/2z2(z)???Pz?L/2
0??2?(1?0(z?L/2)2?a2);z??L/2上下端面上束缚电荷产生的总电场为
??P0z?2?(?L/2?0(z?L/2)2?a2?z?L/2(z?L/2)2?a2);z?L/2 E?Pz?L/2z?L/2z??0?2?(?2?0(z?L/2)2?a2?(z?L/2)2?a2);?L/2?z?L/2
??P0?(z?L/2?z?L/2);z??L/2?2?0(z?L/2)2?a2(z?L/2)2?a2
??，求束缚电荷分布及束缚电荷在球中心产生的电场。 2-16.半径为a的介质球均匀极化，P?P0z?解: (1)介质中的束缚电荷体密度为?'????P?0
???P?z?P0?P0co???r (2) 介质表面的束缚电荷面密度为 ?'s?ns 题2-16图
(3) 介质表面的束缚电荷在球心产生的电场
在介质球表面取半径为r?asin?宽度为dl?ad?的环带,可看成
半径为r?asin?,z??acos?,电荷线密度为?l?aP0cos?d?的线电荷圆环,例2.1给出了线电荷圆环的电场,对?积分得
P0?P0?P0a3sin?cos2?d?2 Ez? ??cos?dco?s?223/2?2?0?2?3??)?(aco?s)]0000[(asin
2-17.无限长的线电荷位于介电常数为?的均匀介质中，线电荷密度?l为常数，求介质中的电场强度。 解: 设无限长的线电荷沿 z轴放置, 利用高斯定理,容易求得介质中的电场强度为
?l ?为场点到线电荷的距离. 2???2-18. 半径为a的均匀带电球壳，电荷面密度?s为常数，外包一层厚度为d、介电常数为?的介质，求介
E??质内外的电场强度。
解:由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为 r的球面，利用高斯定理
?? ??D?dS?q
S22上式左右两边分别为 4?rDr?4?a?s
a2?s由此得 Dr?
r2?a2?s;a?r?a?d?????r2因为D??E，所 以 Er??
a2?s?;r?a?d2??r?02-19.两同心导体球壳半径分别为a、b，两导体之间介质的介电常数为?，求两导体球壳之间的电容。
解：设内导体带电荷为 q，由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为 r的球面，采用高斯定理，两导体球壳之间的电场为 Er?bq 24??r两导体球壳之间的电压为 V?Erdr?a?q11(?) 4??ab两导体球壳之间的电容为 C?q4??ab ?Vb?a2-20. 两同心导体球壳半径分别为a、b，两导体之间有两层介质，介电常数为?1、?2，介质界面半径为c，求两导体球壳之间的电容。
解：设内导体带电荷为 q，由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为 r的球面，采用高斯定理可得，
Dr?q 24?r两导体球壳之间的电场为
?q;a?r?c2??4??1r Er??
q?;c?r?b2?4??r2?两导体球壳之间的电压为
q11(?) ?4??abaq4??ab两导体球壳之间的电容为 C? ?Vb?a V?Erdr?2-21. 圆柱形电容器，内外导体半径分别为a、b，两导体之间介质的介电常数为?，介质的击穿场强为Eb，求此电容器的耐压。
解：设内导体带电荷为 q，由于电荷与介质分布具有轴对称性，取半径为 r的柱面，忽略边缘效应，采用高斯定理，两导体球壳之间的电场为 Er?bq2??rl
内导体表面上的电场最强，设等于击穿场强Eb，则q?Eb2??al。两导体球壳之间的电场用击穿场强Eb表示为 Er?aEb rb两导体球壳之间的耐压为 Vmax?Erdr?aEblna????4y??5z?，试求点(0,0,0)与点(1,2,1)之间的电压。 2-22.已知电场强度为E?3x????解：由于??E?0，从而?E?dl?0，即对E的线积分与路径无关，因此从点(0,0,0)到点(1,2,1)之间对
b a?E的线积分的路径可取沿如图所示的路径，点(0,0,0)与点(1,2,1)之间的电压为
l 题2-22图
2?1???dx??E?y?dy??E?z?dz?6 V??E?x1000
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