第2讲 导数研究函数单调性
[基础回顾]
1.函数的导数与单调性的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导，则
(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数． [常用结论]
1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． 2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零．
[完美题型展现]
题型一 判断函数单调性
【玩转角度1】 求不含参函数单调性 例1（1）函数f(x)＝x·ex－exA．(－∞，e) C．(e，＋∞)
解析 由f(x)＝x·ex－ex1， 得f′(x)＝(x＋1－e)·ex， 令f′(x)>0，解得x>e－1，
所以函数f(x)的递增区间是(e－1，＋∞)．
（2）已知函数f(x)＝xln x，则f(x)的单调递减区间是________． 解析 因为函数f(x)＝xln x的定义域为(0，＋∞)， 所以f′(x)＝ln x＋1(x>0)，
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0，?. 当f′(x)<0时，解得0 （3）(2020·开封调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f(x)的单调递增区间是______________________． ππ －π，－?和?0，? 答案 ?2??2?? 解析 f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x. 令f′(x)＝xcos x>0， ＋ ＋1 的递增区间是( ) B．(1，e) D．(e－1，＋∞) ππ －π，－?∪?0，?， 则其在区间(－π，π)上的解集为?2??2??ππ －π，－?和?0，?. 即f(x)的单调递增区间为?2??2??【玩转角度2】 讨论含参函数单调性 例2已知f(x)＝a(x－ln x)＋ 2x－1 ，a∈R.讨论f(x)的单调性． x2解：f(x)的定义域为(0，＋∞)， a22（ax2－2）（x－1） f′(x)＝a－－2＋3＝. xxxx3 当a≤0时，x∈(0，1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减． a（x－1）? 当a>0时，f′(x)＝ x3?x－(1)当0 2>1， a 2??x＋a?? 2?. a? ? 2?，＋∞时，f′(x)>0，f(x)单调递增， a? 当x∈?1，? 2?时，f′(x)<0，f(x)单调递减． a?2＝1，在x∈(0，＋∞)内，f′(x)≥0，f(x)单调递增． a 2<1，当x∈?0，a? 2? 或x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， a? (2)当a＝2时，(3)当a>2时，0<当x∈? ? 2? ，1时，f′(x)<0，f(x)单调递减． a? 综上所述，当a≤0时，f(x)在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减； 当0 2?内单调递减，在?a??2?，＋∞内单调递 a? 增； 当a＝2时，f(x)在(0，＋∞)内单调递增； 当a>2时，f(x)在?0，? 2?内单调递增，在?a??2? ，1内单调递减，在(1，＋∞)内单调递 a? 玩 转 秘 籍 利用导数求函数单调区间的三种方法 1．当不等式f′(x)>0或f′(x)<0可解时，确定函数的定义域，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出单调区间． 2．当方程f′(x)＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出实数根，把函数的实根按从大到小的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f′(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间． 3．不等式f′(x)>0或f′(x)<0及方程f′(x)＝0均不可解时，根据f′(x)的结构特征，构造新函数g(x)，通过研究g(x)的单调性来确定f′(x)的符号，从而确定f(x)的单调性． [题型特训] 1 1.函数y＝x2－ln x的单调递减区间为( ) 2A．(－1,1) C．(1，＋∞) B．(0,1) D．(0，＋∞) 121x2－1?x－1??x＋1? [解] [函数y＝x－ln x的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－＝＝， 2xxx令y′＜0，得0＜x＜1， 所以单调递减区间为(0,1)，故选B. 1 2. (2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数f(x)＝－x＋aln x，讨论f(x)的单调性． xx2－ax＋11a [解] f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－2－1＋＝－. xxx2①当a≤2时，则f′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时，f′(x)＝0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减． ②当a＞2时，令f′(x)＝0， a－a2－4a＋a2－4?a－a2－4??a＋a2－4? 得x＝或x＝.当x∈?0，∪???时， ，＋∞2222????f′(x)＜0；当x∈? ?a－a2－4a＋a2－4?时，f′(x)＞0. ?，22?? a－a2－4??a＋a2－4a－a2－4a＋a2－4???? 所以f(x)在?0，在??，??上，＋∞?上单调递减，，2222??????单调递增． ?a－a2－4? 综合①②可知，当a≤2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a＞2时，f(x)在?0，?， 2???a＋a2－4?上单调递减，在?a－a2－4a＋a2－4?上单调递增． ???，＋∞?，222???? 3.已知函数g(x)＝ln x＋ax2＋bx，其中g(x)的函数图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴． (1)确定a与b的关系； (2)若a≥0，试讨论函数g(x)的单调性． 1 解：(1)g′(x)＝＋2ax＋b(x＞0)．由函数g(x)的图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴， x得g′(1)＝1＋2a＋b＝0，所以b＝－2a－1. 2ax2－?2a＋1?x＋1?2ax－1??x－1? (2)由(1)得g′(x)＝＝. xx x－1 因为函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，所以当a＝0时，g′(x)＝－. x由g′(x)＞0，得0＜x＜1，由g′(x)＜0，得x＞1， 即函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 1 当a＞0时，令g′(x)＝0，得x＝1或x＝， 2a 1111 若＜1，即a＞，由g′(x)＞0，得x＞1或0＜x＜，由g′(x)＜0，得＜x＜1， 2a22a2a11 0，?，(1，＋∞)上单调递增，在?，1?上单调递减； 即函数g(x)在??2a??2a? 1111 若＞1，即0＜a＜，由g′(x)＞0，得x＞或0＜x＜1，由g′(x)＜0，得1＜x＜， 2a22a2a11 ，＋∞?上单调递增，在?1，?上单调递减； 即函数g(x)在(0,1)，??2a??2a?11 若＝1，即a＝，在(0，＋∞)上恒有g′(x)≥0， 2a2 即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增．综上可得，当a＝0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 111 ，＋∞?上单调递增，在?1，?上单调递减； 当0＜a＜时，函数g(x)在(0,1)，??2a??2a?2111 0，?，(1，＋∞)当a＝时，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＞时，函数g(x)在??2a?221?上单调递增，在??2a，1?上单调递减． 题型二 已知函数单调性求参 1a 例3 设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1. 32 (1)求b，c的值； (2)若a＞0，求函数f(x)的单调区间； (3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围． 解：(1)f′(x)＝x2－ax＋b，由题意得? ??f（0）＝1， ??c＝1， 即? ?f′（0）＝0，??b＝0.? (2)由(1)得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a＞0)，当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0； 当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0. 所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)． (3)g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，使不等式g′(x)＝x2－ax＋2＜0成立， 2 x＋?即x∈(－2，－1)时，a＜??x?2 ＝－22，当且仅当x＝即x＝－2时等号成立． xmax 所以满足要求的a的取值范围是(－∞，－22)． [母题变式] 1．在本例第(3)问中，若改为g(x)在(－2，－1)内为减函数，如何解？ 解：解法一：∵g′(x)＝x2－ax＋2，且g(x)在(－2，－1)内为减函数， ∴g′(x)≤0，即x2－ax＋2≤0在(－2，－1)内恒成立， ??g′（－2）≤0，??4＋2a＋2≤0， ?∴即?解得a≤－3，即实数a的取值范围为(－∞，－3]． ??g′（－1）≤0，??1＋a＋2≤0， 解法二：∵g′(x)＝x2－ax＋2，由题意可得g′(x)≤0在(－2，－1)上恒成立， 22 即a≤x＋在(－2，－1)上恒成立，又y＝x＋，x∈(－2，－1)的值域为(－3，－22]， xx∴a≤－3，∴实数a的取值范围是(－∞，－3]． 2．在本例第(3)问中，若g(x)的单调递减区间为(－2，－1)，求a的值？ 解：∵g(x)的单调减区间为(－2，－1)，∴x1＝－2，x2＝－1是g′(x)＝0的两个根， ∴(－2)＋(－1)＝a，即a＝－3. 3．在本例第(3)问中，若g(x)在(－2，－1)上不单调，求a的取值范围？ 解：由母题变式1知g(x)在(－2，－1)上为减函数，a的范围是(－∞，－3]，若g(x)在(－2，22 －1)上为增函数，可知a≥x＋在(－2，－1)上恒成立，又y＝x＋的值域为(－3，－22]， xx∴a的取值范围是[－22，＋∞]， ∴函数g(x)在(－2，－1)上单调时，a的取值范围是(－∞，－3]∪[－22，＋∞)， 故g(x)在(－2，－1)上不单调，实数a的取值范围是(－3，－22)．
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