考点： 对数函数的图像与性质． 专题： 函数的性质及应用．
分析： （1）根据函数的单调性进行求函数的最大最小值； （2）利用换元法求函数的值域，注意自变量的取值范围．
解答： 解：（1）∵∴∴
…（5分）
…（2分）
…（4分）
∴函数f（x）的值域是[﹣，1]；
故函数f（x）的最小值是﹣，最大值是1； （2）G（x）=（log2x﹣2）（log4﹣） =（log2x﹣2）（ =令∴∴∴
…（11分） …（8分）
…（10分）
t=3时，y取最大值，ymax=1…（12分） ∴
…（13分）
点评： 本题主要考查函数的单调性以及函数最值得求法，属于基础题．
21．（14分）已知定义在R上的函数
是奇函数
（1）求a，b的值；
（2）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明；
2
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t﹣2t）+f（﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．
考点： 函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质． 专题： 综合题．
分析： （1）由（fx）是定义在R上的奇函数，知，故b=1，，
，由此能求出a=b=1．
（2）
，f（x）在R上是减函数．证明：设x1，x2∈R且x1＜x2，
=﹣，由此能够证明f（x）
在R上是减函数．
22
（3）不等式f（t﹣2t）+f（﹣k）＞0，等价于f（t﹣2t）＞f（k），由f（x）是R上的减函
2
数，知t﹣2t＜k，由此能求出实数k的取值范围． 解答： 解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数， ∴
解得b=1，（1分） ∴
， ，
∴
x
x
x
x
∴a?2+1=a+2，即a（2﹣1）=2﹣1对一切实数x都成立， ∴a=1， 故a=b=1．（3分） （2）∵a=b=1， ∴
，
f（x）在R上是减函数．（4分） 证明：设x1，x2∈R且x1＜x2 则
=﹣∵x1＜x2， ∴
，
，
，，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0
即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在R上是减函数，（8分）
2
（3）∵不等式f（t﹣2t）+f（﹣k）＞0，
2
∴f（t﹣2t）＞﹣f（﹣k），
2
∴f（t﹣2t）＞f（k）， ∵f（x）是R上的减函数， ∴t﹣2t＜k（10分） ∴∴
．（12分）
对t∈R恒成立，
2
点评： 本题考查函数恒成立问题的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化
归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
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