对方程（7）两边取对数然后两边分别对t求导可得：
?AtAt?(??1??)?KtKt?(??1)?LtLt??(9)
方程（8）和方程（9）给出了资本增长率、技术进步率和劳动增长率的关系，是本模型的两个
关键方程。 将
?AtAt?B?[方程
(1??)（7
?）
?Kt代入
?Lt方
1??????(??1)程（
6）可得：
?????(??1??)(n?r)M??(10)???(1??)/?] 将方程（10）分别带入方程（8）和方程（9），并令a?[(n?r)M???(1??)/?1??B??a],
?m??????(??1??),p?1??????(??1),b???1??,c???1,d????KLmptt???aKtLt?B(n?r)??(11)??KLt?常数。可得：??t??bKt?cLt?dKmLp???????(12)tt?KtLt?。显然，a,m,p,b,c,d都是
方程（11）和方程（12）可以解出Kt和Lt的表达式，是本模型的另外两个关键方程。 以下为书写方便，分别用lt,kt,at表示lnLt,lnKt,和lnAt。方程（11）和方程（12）可以改写
????l??B(n?r)?a?emkteplt??(13)????ktt为：?mktplt???e???????(14)?b?kt?c?lt?d?e
mkpl??(b???c)l?t?bB(n?r)?(ba??d)etet??(15)分别消元得：?mktplt??e??(16)?(?c?b?)kt?cB(n?r)?(ca??d)e
由方程（15）得：emkt?bB(n?r)?(b???c)l?tba??dte?plt??(17)
对方程（17）两边对t求导得：emk所以，k?t?bB(n?r)(ba??d)me?plt??bB(n?r)?e?pl?t(?pl?)??c?b??e?plt(l\?pl?)m?ktttt(ba??d)mba??d
?(?c?b?)?pl?t?mkt\?mkt(?pl?t)e?ee(lt?pl?t)
(ba??d)m将方程（15）变形后代入上式，消掉e?plte?mkt项得：
??ktbB(n?r)(ba??d)m(?pl?t)ba??bB(n?r)?(b???c)l?t?(?c?b?)(ba??d)mbB(n?r)?(b???c)l?t?ba??(lt?pl?t)??(18)\?分
别将方程（17）和（18）代入（16）得：
?pl?tbB(n?r)m[bB(n?r)?(?c?b?)l?t]?(lt?pl?t)\?c?b?m[bB(n?r)?(?c?b?)l?t]?cB(n?r)?(ca??d)[bB(n?r)?(?c?b?)l?t]ba??d?(19) 对方程（19）两边同乘
m[bB(n?r)?(?c?b?)l?t]?c?b?得：
2bB(n?r)cB(n?r)m(ca??d)m[bB(n?r)?(?c?b?)l?t]\????plt?(lt?plt)?[bB(n?r)?(?c?b?)lt]??(20)?c?b??c?b?(ba??d)(?c?b?)4
(b???c)(ac??d)mbB(n?r)2b(ac??d)令:yt?l?t,v?,s??p[?1]?[c?]mb(n?r),ba??d?c?b?ba??dq?bmB2(n?r)2?c?b?dytdt2[c?b(ca??d)ba??d]。则方程（20）可简化表示为yt?v?yt?s?yt?q'2
即： 所以
?v?yt?s?yt?qdyt
v?2yt?dt??(21)
?s?yt?q 如果v>0，方程（21）可化为：
s12?4qv?(yt?s?1s2??4qv2vyt?s?1s2)dy??4qv2v?dt
ln(yt?s?s2?4qv2vs2)?ln(yt?s?s2?4qv2v)?s2~(c~?0)?4qv?t?lnc22
?4qvvs2
1?y?s?~?e?c22vs?4qv?t2 所以yt?s?4qv~ev(1?c2s?4qv?t22?)s?s?4qv2v2
?4qv而且limt??yt?s?s2?4qv2v?常数。
dytu?2yt如果v<0，则令u=-v，方程（21）化为
1s2??dt?s?yt?q
?4qu?(yt??s?1s2??4qu2uyt??s?1s2)dy??dt?4qu2u?
ln(yt??s?s2?4qu2u)?ln(yt??s?s2?4qu2u)??s22~(c~?0) ?4qu?t?lnc33s2所以yt?s2?4qus?4qu?t2~e?u(1?c3s?s?)s?s2?4qu2u?s?s?4qv2v??4qvs?4qv?t2~e?v(1?c3
)2而且limyt?t???4qv2v?常数。
cB(n?r)如果v=0，则ac??d?0，由方程（16）知k?t??c?b??常数
~?st~?的线性?q/s(c1?0)不会恒为常数，与方程（8）和方程（9）联立解得的l?t与k而l?t?yt?c1et关系相矛盾，要舍去。
~如何取值，lim不论v和c2t??l?t?t也都是常数，横都是常数，根据方程（8）和方程（9），k?t和a 5
截性条件对参数的确定不起作用，而该实际问题的参数必然会使横截性条件得到满足，不必再对横截性条件多加考虑。所以，最后确定的最优解为
22?s?4qvs?s?4qv??(v?0时)2s?4qv?t2v~e?s?)?v(1?c2?而且liml?t?lt??22t??s?4qv?s?s?4qv?（v?0时）?2?s?4qv?t2v~?v(1?c3e)?s2?4qv2v。
?n?r1??k?(1?)l?t??(22)t????B????1??B?(??1??)(n?r)??1?????t?由方程（8）和方程（9）联立，可以解得?a?(??)lt??(23)???B?????1??B?(???)(1??)????B(n?r)(1??)?t?kt???(*)?a?(1?B)B?1?
其中，方程（*）可以由方程（22）和方程（23）解出，是一个可以消掉的方程，但从方程（*）中可以得到一个显然的结论：进行数据检验。
于是，我们可以得到两组可能的解：
??22s?4qvs?s?4qv??lt??????????????(24)?22vs?4qv?t~v(1?c2e)??22s?4qvs?s?4qvn?r1??kt??(1?)[?]?(25)(v?0)?2???B2vs?4qv?t~?v(1?c2e)????1??B?22s?4qvs?s?4qv(??1??)(n?r)??1???a???(??)[?]?(26)2?t???B2vs?4qv?t~v(1?c2e)????1??B?(???)(1??)????(1?B)?0?是正相关的，这个结论有助于?t和k，所以at
???????和?????a?t????l?t?s?s2?4qv2vn?r?s2?4qvs?4qv?t2~e?v(1?c31B)[????????????(27))?4qv?s2??kt??1??????B?(1?s?s2?4qvs?4qv?t22vs?s2~e?v(1?c3?]?(28))]?(29))(v?0)
(??1??)(n?r)??1??????B?(????1??B)[?4qvs2?4qvs?4qv?t22v~e?v(1?c3 6
???2s?s?4qv??limlt???????(30)?t??2v?2n?r1s?s?4qv??以及无穷时间条件下的最优解：?limkt??(1?)?(31)t?????B2v?????1??B?2(??1??)(n?r)??1??s?s?4qv?lima???(??)?(32)?t??t???B2v????1??B?
如果各参数能够用统计量完全确定，v的符号就可以确定，两组解就可以只保留一组。设求
??k?*和l??l?*。则根据总生产函数Y?A?K?L1??，最优经济增长率为?t?a?t*,k得的最优解分别为attttttt?YtYt?*?(1??)l?*??(33)。 ?t*???k?att四、 发达国家要素增长路径的估计
方程（30）、方程（31）和方程（32）告诉我们，每种要素增长率的表达式只有一个，而且表达式中的参数全是固定参数。另外从本模型的关键方程（8）和（9）可以看出，最优技术进步率，资本增长率和劳动增长率之间呈现固定的线性关系。而发达资本主义国家经过上百年的发展，产
品生产模式已经十分接近，生产技术没有显著的差异。于是，我们就可以依据理性国家的假设（即认为各发达国家在技术进步率、资本增长率和劳动增长率的关系处理方面是理性的，每个国家在长期中都不会出现系统的误差，各国家对三者关系的处理平均而言是正确的）,来对模型的关键方程做出参数估计，以此确定三种要素增长率之间的关系。关于资本投入增长率，劳动投入增长率和技术进步率的数据见以下各表。
表1 资本投入年增长率表
年份 加拿大 美国 法国 德国 意大利 日本 荷兰 英国 年份 加拿大 美国 法国 德国 意大利 日本 荷兰 1948 0.092 0.067 1961 0.043 0.031 0.054 0.082 0.055 0.109 0.061 1949 0.072 0.063 1962 0.036 0.023 0.059 0.079 0.066 0.157 0.071 1950 0.071 0.042 1963 0.041 0.034 0.064 0.079 0.070 0.113 0.073 1951 0.083 0.067 0.054 0.043 1964 0.045 0.039 0.066 0.067 0.078 0.089 0.063 1952 0.073 0.054 0.042 0.052 0.026 1965 0.054 0.043 0.070 0.077 0.049 0.117 0.073 1953 0.066 0.037 0.039 0.070 0.019 0.014 0.004 1966 0.065 0.053 0.061 0.084 0.036 0.089 0.074 1954 0.074 0.039 0.044 0.068 0.027 -0.003 0.021 1967 0.068 0.057 0.064 0.066 0.039 0.083 0.062 1955 0.049 0.032 0.048 0.075 0.027 0.016 0.052 1968 0.054 0.044 0.060 0.041 0.052 0.117 0.057 1956 0.064 0.052 0.051 0.088 0.034 0.017 0.055 0.053 1969 0.049 0.046 0.059 0.055 0.049 0.140 0.059 1957 0.080 0.042 0.055 0.080 0.038 0.078 0.064 0.035 1970 0.051 0.046 0.067 0.071 0.053 0.138 0.060 1958 0.065 0.034 0.052 0.077 0.040 0.119 0.062 0.040 1971 0.037 0.031 0.064 0.076 0.060 0.148 0.076 1959 0.049 0.018 0.045 0.073 0.037 0.054 0.035 0.044 1972 0.044 0.035 0.062 0.073 0.049 0.123 0.067 1960 0.048 0.034 0.042 0.042 0.042 0.069 0.041 0.051 1973 0.052 0.045 0.064 0.062 0.046 0.116 0.062 7
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