英国 韩国 0.056 0.006 0.049 0.013 0.039 0.027 0.046 0.039 0.060 0.037 0.051 0.031 0.041 0.088 0.043 0.113 0.045 0.132 0.034 0.127 0.035 0.096 0.047 0.090 0.059 0.054 表2 劳动投入年增长率表
年份 加拿大 美国 法国 德国 意大利 日本 荷兰 英国 年份 加拿大 美国 法国 德国 意大利 日本 荷兰 英国 韩国 1948 0.013 0.016 1961 -0.021 -0.005 0.004 -0.000 0.009 0.013 -0.029 0.022 0.061 1949 0.017 -0.039 1962 0.029 0.028 0.007 -0.016 -0.022 0.022 0.026 0.002 0.019 1950 -0.019 0.038 1963 0.017 0.016 0.008 -0.016 0.009 0.026 0.021 0.014 0.041 1951 0.020 0.044 0.016 0.030 1964 0.031 0.021 0.013 0.012 -0.035 0.030 0.013 0.018 -0.002 1952 0.011 0.010 -0.006 0.022 -0.006 1965 0.032 0.037 -0.006 -0.008 -0.069 0.043 0.014 -0.002 0.106 1953 0.015 0.017 -0.007 0.029 0.032 0.049 0.024 1966 0.027 0.038 0.012 -0.019 0.027 0.027 0.011 -0.013 0.030 1954 -0.005 -0.034 0.010 0.035 0.038 0.027 0.024 1967 0.019 0.015 -0.002 -0.058 0.034 0.038 -0.018 -0.015 0.057 1955 0.017 0.035 0.003 0.044 -0.001 0.040 0.023 1968 0.002 0.024 -0.007 0.018 0.013 0.034 0.014 -0.000 0.079 1956 0.043 0.021 0.005 0.015 -0.001 0.077 0.020 0.005 1969 0.019 0.032 0.017 0.016 -0.020 0.014 0.016 0.005 0.063 1957 0.014 -0.008 0.010 -0.014 0.018 0.049 0.006 -0.020 1970 -0.001 -0.011 0.008 0.006 0.019 0.018 -0.004 -0.027 0.002 1958 -0.015 -0.027 -0.007 -0.009 0.002 0.035 -0.006 -0.012 1971 0.019 0.006 -0.002 -0.022 -0.025 0.012 -0.001 -0.053 0.066 1959 0.031 0.041 -0.006 -0.006 0.009 0.046 0.020 0.024 1972 0.027 0.038 -0.003 -0.016 -0.026 0.014 -0.018 0.010 0.064 1960 0.010 0.013 0.015 0.012 0.027 0.059 0.025 0.014 1973 0.054 0.050 0.007 -0.003 -0.004 0.033 -0.004 0.038 0.066 表3 全要素生产率年增长率表
年份 加拿大 美国 法国 德国 意大利 日本 荷兰 英国 年份 加拿大 美国 法国 德国 意大利 日本 荷兰 英国 韩国 1948 -0.007 0.018 1961 0.008 0.014 0.030 0.023 0.056 0.125 0.022 0.015 0.011 1949 0.016 0.008 1962 0.028 0.031 0.036 0.020 0.045 0.028 -0.002 -0.005 0.012 1950 0.080 0.055 1963 0.027 0.015 0.029 0.021 0.013 0.048 -0.011 0.015 0.062 1951 -0.007 0.012 -0.006 0.064 1964 0.032 0.025 0.043 0.038 0.026 0.065 0.061 0.043 0.048 1952 0.053 0.010 0.019 0.050 0.005 1965 0.029 0.021 0.030 0.037 0.058 0.022 0.022 0.003 -0.006 1953 0.023 0.021 0.069 0.041 0.061 0.058 0.061 1966 0.022 0.015 0.025 0.013 0.025 0.024 -0.003 0.016 0.093 1954 -0.034 -0.004 0.027 0.032 0.002 0.047 0.046 1967 -0.012 -0.006 0.023 0.008 0.037 0.057 0.034 0.025 0.016 1955 0.056 0.038 0.033 0.066 0.072 0.071 0.034 1968 0.029 0.013 0.021 0.051 0.027 0.054 0.038 0.023 0.028 1956 0.043 -0.009 0.024 0.038 0.034 -0.014 0.017 -0.001 1969 0.010 -0.007 0.045 0.038 0.054 0.043 0.033 -0.010 0.091 1957 -0.016 0.005 0.031 0.045 0.019 0.038 0.002 0.025 1970 0.016 -0.013 0.027 0.038 0.020 0.053 0.044 0.041 0.029 1958 0.005 0.003 0.001 0.018 0.039 0.004 -0.079 0.002 1971 0.023 0.019 0.019 0.013 -0.031 0.024 0.021 0.055 0.010 1959 0.003 0.026 0.037 0.052 0.044 0.020 0.073 0.014 1972 0.016 0.026 0.029 0.024 0.029 0.025 0.045 0.026 0.015 1960 0.003 0.000 0.059 0.061 0.031 0.049 0.047 0.033 1973 0.013 0.015 0.035 0.037 0.048 0.015 0.027 0.022 0.129 数据说明：
8
1． 劳动投入量有所有工人的劳动时间乘以单位时间工资得到，劳动质量由工资标准体现。
2． 资本存量依据永续盘存法和年龄价格函数测算，资本重置包括实物损耗和由时间价格函数确定的经济
折旧。
3． 实际要素投入量以加总每种实际投入要素数量与投入价格之积计算。 4． 产出以加总每种产出品数量与产出价格之积计算。
5． 全要素生产率增长率为产出增长率与实际要素投入增长率之差。
6． 价格指数采用购买力平价，基准期单位的选取因国家不同而不同，例如美国以1958年十亿美元为单位。 7． 分部门加权时，权重均为基期和报告期的平均权重。 8． 所有增长率均为自然对数的一阶有限差。
9． 详细的统计方法和数据均来自乔根森的著作《生产率》
乔根森的统计表是目前可以获得的关于资本投入、劳动投入、全要素生产率和产出增长率最为先进和全面的资料，其采用自然对数一阶有限差度量增长率的方法也与本文模型使用的增长率相一致，因此，可以把乔根森数据作为实际数据的近似，用于本文模型的参数估计。
为了剔除经济周期因素对生产行为的扰动，并使国家有足够长的时期来实现其理性行为，我们对每个国家选取两个基钦经济周期作为一个时间段，取该时间段内每种要素的平均增长率得到样本数据来估计关键方程的参数。由于增长率根据自然对数一阶有限差计算，所以一定时间段内
1
的平均增长率为各期增长率的算术平均值。各要素的平均增长率样本见以下各表
表4 资本平均增长率表
时间段 平均增长率 加拿大 47-54 54-61 60-67 66-73 0.076 0.057 0.050 0.051 0.053 0.035 0.040 0.043 50-57 55-62 61-68 66-73 0.048 0.051 0.063 0.063 0.068 0.074 0.070 0.063 52-59 59-66 66-73 美国 时间段 平均增长率 法国 德国 时间段 平均增长率 意大利 0.032 0.057 0.050 0.042 0.106 0.124 0.042 0.065 0.063 55-62 61-68 66-73 0.047 0.047 0.043 60-67 66-73 0.034 0.100 日本 荷兰 时段 间英国平均增长 时段 间韩国平均增长 表5 劳动平均增长率表
时间段 平均增长率 加拿大 47-54 54-61 60-67 66-73 0.007 0.011 0.019 0.020 0.074 0.010 0.021 0.022 50-57 55-62 61-68 66-73 0.004 0.004 0.004 0.003 0.023 -0.003 -0.012 -0.008 52-59 59-66 66-73 美国 时间段 平均增长率 法国 德国 时间段 平均增长率 意大利 0.014 -0.008 -0.001 0.046 0.031 0.023 0.016 0.012 -0.002 55-62 61-68 66-73 日本 荷兰 时间段 英国平均增长 0.005 0.001 -0.006 60-67 66-73 0.045 0.057 时间段 韩国平均增长 表6 技术平均增长率表
时间段 平均增长率 加拿大 47-54 54-61 60-67 66-73 0.018 0.015 0.019 0.014 0.017 0.011 0.016 0.007 50-57 55-62 61-68 66-73 0.028 0.031 0.030 0.028 0.048 0.037 0.027 0.030 52-59 59-66 66-73 美国 时间段 平均增长率 法国 德国 时间段 平均增长率 意大利 0.039 0.036 0.026 0.032 0.052 0.039 0.022 0.019 0.035 55-62 61-68 66-73 0.012 0.017 0.026 60-67 66-73 0.034 0.045 日本 荷兰 时段 间英国平均增长 时段 间韩国平均增长 1
为保证足够的样本数据，有些时间段之间有1-2年的重叠，但跟整个时间段相比，这种重叠很小不会导致样本数据重复使用。
9
回顾模型的求解过程，路径的求解是通过首先解出零期的资本增长率k?(0)?g(K0,S0)而确定
参数来完成的。事实上，在安排每期要素增长率时，资本增长率是由期初的储蓄率和前期资本折旧率确定的。因此，在联立方程组模型估计中，k?t可以作为外生变量。在待估计的关键联立方程组中，有两个内生变量一个外生变量，有两个方程，因此该方程组是完备的。但方程（8）和方程（9）都含有所有变量，两个都是不可识别的方程，要进行参数估计，必须将他们转换为可识别方程。转换可以采用两次带入，即将方程(8)代入方程（9），在方程（9）中消掉内生变量l，得到的方程再代入方程（8），在方程（8）中消掉内生变量a。得到的可识别方程组形式为：
???(34)?l??c(1)?c(2)*k，其中c(1),c(2),c(3),c(4)都是由一系列常数混合运算得到的常数。下????(35)?a?c(3)?c(4)*k?面用三阶段最小二乘法对此方程组进行参数估计。
首先用表5和表6中的数据对方程（34）进行两阶段最小二乘法估计，由于不同国家面临的
外界情况不同，而同一国家在相近阶段面临的外界情况相近。所以应使用分组异方差模型进行估计。先用普通最小二乘法估计残差平方矩阵，再用估计标准差的倒数对角矩阵作工具变量，将方程（34）、（35）化为同方差模型并进行工具变量法估计。两阶段最小二乘法得到的估计结果为：
?，简单相关系数为-0.3351；a?，简单相关系数为??0.011475?0.281253kl??0.015144?0.097261k0.8721。可见技术进步率和资本增长率是高度正相关的。将样本值进行加权后，原来的两个异方差方程（34）、（35）已转化为同方差模型，随机变量方差固定为1。估计残差相关系数矩阵
?ll??????al???la???aa??0.882035?????0.0031170.003117??0.958106?。于是构建联立方程组模型
?I30??00??I30??wl??wcwk?????0?va??0vc??va??c(5)????c(6)???wl???c(7)????va???c(8)?????(36)，而残差的协方差估计矩阵为????????I30,所以三阶段最小二乘法的工具变量与广义最小二乘法的工具变量一样，应选取
?1T'为
???wcwk??0?0vc?根据分块矩阵求逆公式，??1?，va???T?1.133756????0.00369?0.00369???I30。
1.043738????(37)?l??0.015151?0.097235k三阶段最小二乘法估计结果为?，拟和优度0.769588，调整的
???(38)?a?0.011493?0.280986k?拟和优度0.757244，c(5),c(6),c(7),c(8)的t统计量分别为1.96，-0.70，2.36，3.46。除c(6)外，其他
参数都可以以不小于95%的概率通过检验。
为剔除经济周期的冲击，采用加拿大的7年移动平均资本增长率作为样本，可以得到20个平均增长数据。根据方程（24）和方程（28）可知，资本增长率的最优路径遵循
??k??kt?c(9)1?c(10)?ec(11)t?的范围在由实际经验和已知的观测值可以初步确定k??(39)的形式。? 10
-0.02—0.12之间，该区间平均分成7段，将8个分割点的数值带入方程（39）中，进行试算。式
c(10)?e11（39）两边取倒数得:???c(9)c(9)ktc(11)t??(40)，从增长路径函数的形式上可以看出，t
的取值和时间段长度的选取不影响最终估计结果，因此，不妨将t的值取为1—20，将20个平均
增长率数据及对应的t值带入式（40），就可以得到20个样本点。分别对c(9)?[?1,1]和1/c(9)?[?1,1]进行分段试算。第一阶段试算确定资本极限增长率
??[0.08,0.12],c(9)?[?0.2,0.6]。将可能的区间继续细分，可以确定k??[0.09,0.11]。继续k????[0.105,0.11]，c(9)?[0.01,0.03]。细分，确定k最后确定加拿大的资本极限增长率为0.1100，?c(9)=0.02128，c(10)=-72.04998,c(11)=-0.00766，拟和优度0.656246，修正拟和优度0.637148。因
??0.1100?此，估计的加拿大资本最优增长路径为kt0.021281?72.04998?e?0.007656t（以1947-1954年平
均增长率作为第一期）。再根据方程（37）和方程（38），估计加拿大最优劳动增长路径和技术进
0.002069??l?0.004455???0.007656t?1?72.04998?e步路径为?。
0.005979?a???0.01942??0.007656t?1?72.04998?e?五、 中国增长路径估计
以资本增长率为基础的增长路径估计方法可以用于发达国家，但在中国，至今没有关于资本
增长率，劳动增长率及技术进步率的统计数据，政府当然不可能按照各种要素的路径来规划经济增长路径。但在改革开放以后，中国的总产出增长率一直是由政府预先确定目标，然后让实际情况去接近目标。二十几年来，中国经济的实际增长率一直与事先确定的目标十分接近，而事先确定的目标，必定是政府认为满意的目标，完全可以认为是理性的。因此在假设中国政府理性的条件下，选取中国1978年起的经济增长数据对模型确定的增长路径进行估计，对发展中国家的增长路径具有代表意义。
分别将表达式组（24）、（25）、（26）和表达式组（27）、（28）、（29）代入方程（33），并与表达式组（30）、（31）、（32）代入方程（33）的结果进行比较。可知，经济增长率的表达式遵循如下形势：?YtYt??YtYt?~~~a~,b?其中a最优均衡增长率只可能在[0，0.2],c都是常数。~??(41)，bt~1?c?e的范围内，继续采用反复试算法。将该区间划分成n段，n+1个分割点分别作为
?Yt??YtYt??的测试?y~a??值，代入式（41），可得?y~??(41*)。可以引用中国1978-2003年的增长率数据bt~Yt1?c?e对表达式（41）的参数进行试算。 表7 中国经济增长率表 年份 1978 2
2
GDP增长率 0.117 年份 1987 GDP增长率 0.116 年份 1996 GDP增长率 0.096 2002中国统计年鉴，世界货币基金组织网站
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