Ⅲ、二元函数的微分学
一、多元函数的定义：由两个或两个以上的自变量所构成的函数，称为多元函数。其自．．．．
变量的变化范围称为定义域，通常记作D。 ．．．
例如：二元函数通常记作：z?f(x,y)，(x,y)?D
二、二元函数的偏导数 1、偏导数的表示方法：
（1）设二元函数z?f(x,y)，则函数z在区域D内对x和对y的偏导数记为：
?z?z''，fx(x,y)，zx ； ，f'y(x,y)，z'y
?y?x（2）设二元函数z?f(x,y)，则函数z在点?x0,y0?处对x和对y的偏导数记为：
?z?x''zz，， ； ，fx,yf??xx00y?x0,y0?，y?x0,y0?； x,yx,yx,y?00??00??y?00?''?z2、偏导数的求法
（1）对x求偏导时，只要将y看成是常量，将x看成是变量，直接对x求导即可. （2）对y求偏导时，只要将x看成是常量，将y看成是变量，直接对y求导即可. 如果要求函数在点?x0,y0?处的偏导数，只要求出上述偏导函数后将x0和y0代入即可. 例1：已知函数z?xy?2yx，求
32?z?z和. ?y?x解：
?z3?z22=3xy?2y，=x?4xy
?y?x2例2：已知函数z?xsin2y， 求
?z?z和. ?x?y解：
?z?z2=2xsin2y，=2xcos2y
?y?x三、全微分 1、全微分公式：函数z?f(x,y)在点(x,y)处全微分公式为：dz??z?zdx?dy ?x?y2、全微分求法：（1）、先求出两个一阶偏导数
?z?z和. （2）、然后代入上述公式即可. ?x?y例1：设函数z?sin(x?y)?3x?y?1，求dz. 解：∵
2?z?z=ycos(x?y)?6x，=xcos(x?y)?1
?y?x?z?zdx?dy??ycos(x?y)?6x?dx??xcos(x?y)?1?dy ?x?y2x?y∴dz?例2：设函数z?e解：∵
，求dz.
?z2x?y?z?z?z2x?ydx?dy?2e2x?ydx?e2x?ydy =2e， =e ∴dz??x?y?y?x四、二阶偏导的表示方法和求法：
??z?2z（1）()=2=f''xx(x,y)=z''xx ……两次都对x求偏导
?x?x?x?2z??z''()=（2）=fxy(x,y)=z''xy ……先对x求偏导，再对y求偏导 ?y?x?x?y?2z??z''''()=（3）==fyx(x,y)=zyx ……先对y求偏导，再对x求偏导 ?x?y?y?x??z?2z()=2=f''yy(x,y)=z''yy ……两次都对y求偏导 （4）
?y?y?y可见二元函数的二阶偏导共四种，它们都是x,y的函数。在求二阶偏导的时候一定要注意对．．．变量的求导次序（写在符号前面的变量先求偏导）. ．．．．
?2z?2z?2z?2z例1：设函数z?xy?3xy?xy?1，求2，，和2.
?x?y?y?x?y?x323解：∵
?z?z22332=3xy?3y?y， =2xy?9xy?x
?y?x?2z?2z?2z?2z222232得2=6xy，=6xy?9y?1，=6xy?9y?1，2=2x?18xy
?x?y?y?x?y?x?2z?2z例2：设函数z?ycosx，求2，.
?x?y?x?2z?2z?z解：∵=?ysinx 得2=?ycosx，=?sinx
?x?y?x?x Ⅳ、一元函数的积分学
一、原函数的定义：设F(x)是区间I上的一个可导函数，对于区间I上的任意一点x，
都有F(x)?f(x) ，则称F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数.
例1：(sinx)?cosx，因此sinx是cosx的一个原函数，cosx是sinx的导数. 由于(sinx?c)?cosx，可见只要函数有一个原函数，那么他的原函数就有无穷多个. 例2：设f(x)的一个原函数为
'''1'，求f(x). x'111?1?'解：因为是f(x)的一个原函数，即F(x)=，所以f(x)=F(x)=??=?2.
xxx?x?1?1?2?1得f(x)=??2?=3 （注：?x） x?x?x'' 二、不定积分
（一）、定义：我们把f(x)的所有原函数称为f(x)在区间I上的不定积分，记作：
?f(x)dx?F(x)?C （其中F'(x)?f(x)）
注意：不定积分是原函数的的全体，因此计算结果常数勿忘！ ．．C．．．
（二）、不定积分的性质 〈1〉
??f(x)?g(x)?dx??f(x)dx??g(x)dx ???〈2〉kf(x)dx?kf(x)dx （其中k为常数）
（三）、基本积分公式（和导数公式一样，必须熟记）
〈1〉0dx?C 〈2〉kdx?kx?C （k为常数）
?x??11?C (???1) 〈4〉 ?dx?lnx?C 〈3〉?xdx???1x?〈5〉edx?e?C 〈6〉cosxdx?sinx?C 〈7〉sinxdx??cosx?C 〈8〉
?xx???dx1?x2?arcsinx?C
〈9〉
dx?1?x2?arctanx?C
例1：?3dx??3x?C 2sinxdx?-2cosx?C
??x4?C ?xdx?432211dx???C ?x2xu3tan3x?C??C（利用换元法，设tanx?u） 例2：?tanxdtanx??udu?33又如：cosxdcosx?lncosx?C
??1?32lnxdlnx??lnx?2?C
3（四）、不定积分的计算
1、直接积分法：对被积函数进行恒等变形，并用积分性质和积分公式进行积分的方法。
x523?x?x?C 例1：??x?1?dx=??x?2x?1?dx=?xdx?2?xdx??dx=
53224242例2：(1?2sinx?)dx?1dx?2sinxdx?3?3x??1?xdx?x?2cosx?3lnx?C
2、凑微分法
（1）适用前提：如果被积函数是两个函数相乘（或相除）或者被积函数是复合函数（通
常为较为简单的复合函数）的情况，此时可以考虑用凑微分法。
（2）凑微分法解法步骤 ．．
〈1〉凑微分 〈2〉换 元 〈3〉直接积分法 〈4〉反换元 例1：求不定积分xcosx2dx
?2解：原式=cosxd =
?1211x=?cosx2dx2 ……（1.凑微分）将xdx凑成dx2 2221cosudu ……（2.换 元）将x2换元成u ?21=sinu?C ……（3.直接积分法）求出u的不定积分 2122=sinx?C ……（4.反换元）u再用x反换元 2ln2xdx 例2：求不定积分?x 解：原式=lnxd(lnx) ……（1.凑微分）将
?21dx凑成dlnx x=udu ……（2.换 元）将lnx换元成u
?2u3?C ……（3.直接积分法）求出u的不定积分 =3ln3x?C ……（4.反换元）u再用lnx反换元 =3例3：求不定积分e3x?2dx
?解：原式=
13x?21 ……（1.凑微分）将凑成ed(3x?2)d(3x?2) dx3?31u=?edu ……（2.换 元）将3x?2换元成u 31u=e?C ……（3.直接积分法）求出u的不定积分 313x?2=e?C ……（4.反换元）u再用3x?2反换元 3注意：凑微分时要注意凑完微分后前后变量要统一！如果能熟练掌握换元过程，此时就可以．．．不必写出中间变量，而直接进行积分。 sin4x1?C （将dx凑成d?3x?2?）例4：?sinxcosxdx=?sinxdsinx= 4333311122222例5：?x1?xdx=?1?xd(1?x)=?1?x??C （将xdx凑成d?1?x?）
32223、分部积分法
三、定积分
（一）、定积分的定义：由曲边梯形的面积引出定义公式
A=
?baf(x)dx （A为曲边梯形的面积）
其中f(x)为被积函数，?a,b?为积分区间，a为积分下限，b为积分上限。
用定积分所要注意的事项： 1、因为定积分是曲边梯形的面积，因此定积分的值一定是一个常数，所以对定积分求导，．．．．．．．．．导数值必为零。 ．．．．．．．
d1arctanxdx?0， 例： ?0dx2、当a=b时，
??tsintdt??022'1
?baf(x)dx=0
因定积分上限b＞a，当b＜a时，例：1?baf(x)dx=??f(x)dx
ba?32sinxf(x)dx??dx?0， ?2??3f(x)dx ?11?cosx（二）、定积分的计算
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