第1讲 坐标系
一、知识梳理 1．坐标系 (1)伸缩变换
?x（λ>0），?x′＝λ·
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：?的作用下，
?y′＝μ·y（μ>0）?
点P(x，y)对应到点P′(λx，μy)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．
(2)极坐标系
在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox
为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．
2．直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度
??x＝ρcos θ，
单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则?
?y＝ρsin θ，?
ρ2＝x2＋y2，??
? ytan θ＝（x≠0）.?x?
3．直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0
－α)．
几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0.
(2)直线过点M(a，0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a． π
b，?且平行于极轴：ρsin θ＝b． (3)直线过点M??2?4．圆的极坐标方程
若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则该圆的方程为：
2
ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r.
(2)当圆心位于M(a，0)，半径为a：ρ＝2acos θ． π
a，?，半径为a：ρ＝2asin θ． (3)当圆心位于M??2?常用结论 1．明辨两个坐标
??x′＝λx（λ>0），
伸缩变换关系式?点(x，y)在原曲线上，点(x′，y′)在变换后的曲线上，
?y′＝μy（μ>0），?
因此点(x，y)的坐标满足原来的曲线方程，点(x′，y′)的坐标满足变换后的曲线方程．
2．极坐标方程与直角坐标方程互化
(1)公式代入：直角坐标方程化为极坐标方程公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简． (2)整体代换：极坐标方程化为直角坐标方程，变形构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．
二、习题改编
1．(选修4-4P15T2改编)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) π
1，? A.??2?C．(1，0)
π
1，－? B.?2??D．(1，π)
解析：选B.由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化为直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成π
1，－?.故选B. 标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为?2??
π
2，?，且圆C经过极点．求圆C的极坐标2．(选修4-4P15T2改编)圆心C的极坐标为??4?方程．
解：圆心C的直角坐标为(2，2)，则设圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2
＝r2，
依题意可知r2＝(0－2)2＋(0－2)2＝4，
故圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4，化为极坐标方程为ρ2－22ρ(sin θ＋cos θ)＝0，
即ρ＝22(sin θ＋cos θ)．
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